Uma esfera de raio
está uniformemente carregada com carga total
. Calcule a intensidade do potencial elétrico em pontos (a) externos e (b) internos à esfera. © Trace um gráfico do potencial elétrico em função da distância radial.
Resposta: (a)
(b)
Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o potencial elétrico de uma esfera carregada. A gente precisa calcular o potencial em dois casos: fora da esfera e dentro dela. Para isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, como a Lei de Gauss e a definição de potencial elétrico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto no espaço devido a uma carga $ q $ é dado por:
Aqui, $ \epsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo e $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga.
Passo 3
Parte (a): Potencial externo à esfera
Quando o ponto onde queremos calcular o potencial está fora da esfera ($ r > R $), a esfera carregada pode ser tratada como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Então, o potencial elétrico nesse caso é:
Isso significa que para qualquer ponto fora da esfera, o potencial depende apenas da distância $ r $ e da carga total $ q $.
Passo 4
Parte (b): Potencial interno à esfera
Agora, vamos calcular o potencial para um ponto dentro da esfera ($ r < R $). Aqui, a distribuição de carga é uniforme, então a densidade de carga volumétrica $ \rho $ é:
Para encontrar o potencial interno, precisamos integrar a contribuição de todas as cargas dentro da esfera até o ponto $ r $. Após alguns cálculos (usando a Lei de Gauss e integração), chegamos à expressão:
Isso mostra que o potencial interno varia com o quadrado da distância $ r $ até o centro da esfera.
Passo 5
Parte ©: Gráfico do potencial elétrico em função da distância radial
Para visualizar como o potencial varia com a distância $ r $, podemos traçar um gráfico onde o eixo horizontal representa $ r $ e o eixo vertical representa $ V® $.
- Externamente ($ r > R $): O gráfico segue uma função hiperbólica decrescendo à medida que $ r $ aumenta.
- **Internamente ($ r < R
r = R r = 0 $).
O gráfico terá uma continuidade no ponto $ r = R $, conectando as duas regiões de forma suave.
Resposta
(a) $ V® = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r} $
(b) $ V® = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R} \left( \frac{3}{2} - \frac{r^{2}}{2 R^{2}} \right) $