A expressão para a posição de uma partícula, em função do tempo, é
s(t)=e^t ln t m
Determine a sua velocidade e sua aceleração no instante de tempo t=e s.

Passo 1

Então, o enunciado diz que a posição de uma partícula é dada por
s(t)=e^tln t(em metros)
e pede pra gente achar a velocidade v(t)=s'(t) e a aceleração a(t)=v'(t) no instante t=e,s.
Isso é cálculo de derivadas (tema: regras da cadeia e do produto), aplicando depois cinemática básica. Vamos usar:
- Regra da cadeia pra derivar e^(,cdot,).
- Identificar que e^tln t=t^t.
- Regra do produto e derivada de ln t.

Passo 2

Primeiro, escrevo
s(t)=e^tln t,
Para derivar, aplico a regra da cadeia: se s(t)=e^u(t), então
s'(t)=e^u(t)cdot u'(t),
Aqui u(t)=tln t. Agora calculo u'(t) usando a regra do produto ( tcdotln t):
u'(t)=ddt(t)cdotln t + tcdotddt(ln t) =1cdotln t + tcdot1t =ln t +1,
Logo, a velocidade geral é
v(t)=s'(t)=e^tln t,(ln t+1),
E, lembrando que e^tln t=t^t, dá também
boxedv(t)=t^t(ln t+1),

Passo 3

Agora avalio em t=e:
v(e)=e^el(ln e +1r) =e^e(1+1) =2e^e,

Passo 4

Para achar a aceleração, preciso derivar v(t)=t^t(ln t+1). Aqui uso regra do produto entre A(t)=t^t e B(t)=ln t+1.
  1. Já sabemos que A'(t)=t^t(ln t+1).
  2. E B'(t)= ddt(ln t+1)=1t+0=1t.
    Então, pela regra do produto,
$$a(t)=v’(t)=A’(t)B(t)+A(t)B’(t)
=t^t(\ln t+1)(\ln t+1)+t^t\cdot\frac1t,. a(t)=v'(t)=A'(t)B(t)+A(t)B'(t) =t^t(ln t+1)(ln t+1)+t^tcdot1t,\boxed{a(t)=t^t\bigl[(\ln t+1)^2+\tfrac1t\bigr],.}$$

Passo 5

Avalio em t=e:
  • ln e=1.
  • (ln e+1)^2=(1+1)^2=4.
  • 1/t=1/e.
    Logo
a(e)=e^el[4+1er] =e^ecdot4 + e^ecdot1e =4e^e + e^e-1,

Resposta

Velocidade em t=e:
v(e)=2e^e,
Aceleração em t=e:
a(e)=4e^e + e^,e-1,

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