A expressão para a posição de uma partícula, em função do tempo, é
Determine a sua velocidade e sua aceleração no instante de tempo
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que a posição de uma partícula é dada por
e pede pra gente achar a velocidade
Isso é cálculo de derivadas (tema: regras da cadeia e do produto), aplicando depois cinemática básica. Vamos usar:
- Regra da cadeia pra derivar
- Identificar que
- Regra do produto e derivada de
Passo 2
Primeiro, escrevo
Para derivar, aplico a regra da cadeia: se
Aqui
. Agora calculo
usando a regra do produto (
):
Logo, a velocidade geral é
E, lembrando que
Passo 3
Agora avalio em
:
Passo 4
Para achar a aceleração, preciso derivar
. Aqui uso regra do produto entre
e
.
- Já sabemos que
. - E
.
Então, pela regra do produto,
$$a(t)=v’(t)=A’(t)B(t)+A(t)B’(t)
=t^t(\ln t+1)(\ln t+1)+t^t\cdot\frac1t,.
\boxed{a(t)=t^t\bigl[(\ln t+1)^2+\tfrac1t\bigr],.}$$
Passo 5
Avalio em
:
-
. -
. -
.
Logo
Resposta
Velocidade em
:
Aceleração em