Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados: f(x, y)=x y e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 2, y \leq x\right. e \left.x \geq 0\right\}.
A região B está dentro do disco de raio \sqrt{2} centrado na origem (porque x^{2}+y^{2}\le 2).
A região é limitada pelas retas/condições y\le x e x\ge 0.
A função a integrar é o produto xy.
Passo 2
Por que vamos trocar para coordenadas polares (explicação didática): quando a região envolve uma condição do tipo x^{2}+y^{2}\le constante (um disco ou setor de disco), coordenadas polares tornam a descrição da região e a integração muito mais simples. As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área na passagem de retangular (dx\,dy) para polar é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Breve justification do fator r: é o determinante da matriz jacobiana da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y); geometricamente, uma pequena variação dr e d\theta gera um retângulo de área aproximada r\,dr\,d\theta.
Passo 3
Escrever a função em polares (explicação passo a passo):
A condição y\le x em polares é r\sin\theta \le r\cos\theta. Para r>0 podemos dividir por r e obter \sin\theta \le \cos\theta. Isso é equivalente a \tan\theta \le 1 onde \cos\theta>0. A desigualdade \sin\theta\le\cos\theta é satisfeita para \theta\le \tfrac{\pi}{4}.
Interseção das duas restrições angulares (\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e \theta\le \tfrac{\pi}{4}) dá
Calcular a integral angular (dou a técnica e executo passo a passo):
Uma técnica direta é a substituição u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. Assim
Resultado final e interpretação rápida: a integral vale -\tfrac{1}{4}. O sinal negativo faz sentido: a região tem uma parte com y negativa e, apesar de também haver y positiva até a reta y=x, a combinação e a simetria do integrando xy produz resultado negativo (não precisa decorar: o cálculo mostrou isso).