Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=x y e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 2, y \leq x\right. e \left.x \geq 0\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\iint_B f(x,y)\,dx\,dy
onde a função e a região são dadas por:
f(x,y)=xy
e
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^{2}+y^{2}\le 2,\; y\le x,\; x\ge 0\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  1. A região B está dentro do disco de raio \sqrt{2} centrado na origem (porque x^{2}+y^{2}\le 2).
  2. A região é limitada pelas retas/condições y\le x e x\ge 0.
  3. A função a integrar é o produto xy.

Passo 2

Por que vamos trocar para coordenadas polares (explicação didática): quando a região envolve uma condição do tipo x^{2}+y^{2}\le constante (um disco ou setor de disco), coordenadas polares tornam a descrição da região e a integração muito mais simples. As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área na passagem de retangular (dx\,dy) para polar é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Breve justification do fator r: é o determinante da matriz jacobiana da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y); geometricamente, uma pequena variação dr e d\theta gera um retângulo de área aproximada r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Escrever a função em polares (explicação passo a passo):
xy = (r\cos\theta)(r\sin\theta) = r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo elemento de área temos o integrando em polares:
xy\,dx\,dy = \bigl(r^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\cdot (r\,dr\,d\theta) = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Determinar os limites de integração para r e \theta (explicando cada condição da região):
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 2 em polares é r^{2}\le 2, logo
0 \le r \le \sqrt{2}.
  • A condição x\ge 0 corresponde a \cos\theta\ge 0, isto é
\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • A condição y\le x em polares é r\sin\theta \le r\cos\theta. Para r>0 podemos dividir por r e obter \sin\theta \le \cos\theta. Isso é equivalente a \tan\theta \le 1 onde \cos\theta>0. A desigualdade \sin\theta\le\cos\theta é satisfeita para \theta\le \tfrac{\pi}{4}.
  • Interseção das duas restrições angulares ( \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e \theta\le \tfrac{\pi}{4}) dá
\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{4}\right].
Portanto os limites são 0\le r\le\sqrt{2} e -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados:
\iint_B xy\,dx\,dy = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/4}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Como o integrando separa em produto de função de r por função de \theta, podemos integrar em r primeiro:
\int_{r=0}^{\sqrt{2}} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{4}}{4} - 0 = \frac{4}{4}=1.
Obs.: cálculo detalhado de (\sqrt{2})^{4}: (\sqrt{2})^{2}=2 e (\sqrt{2})^{4}=( (\sqrt{2})^{2} )^{2}=2^{2}=4.
Assim a integral reduz para
\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral angular (dou a técnica e executo passo a passo):
Uma técnica direta é a substituição u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. Assim
\int \cos\theta\sin\theta\,d\theta = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} = \frac{\sin^{2}\theta}{2}.
Aplicando os limites:
\left.\frac{\sin^{2}\theta}{2}\right|_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/4} = \frac{\sin^{2}(\pi/4)}{2} - \frac{\sin^{2}(-\pi/2)}{2}.
Calculemos cada valor:
\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin^{2}\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2},
\sin\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1\quad\Rightarrow\quad \sin^{2}\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
Portanto
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.

Passo 7

Resultado final e interpretação rápida: a integral vale -\tfrac{1}{4}. O sinal negativo faz sentido: a região tem uma parte com y negativa e, apesar de também haver y positiva até a reta y=x, a combinação e a simetria do integrando xy produz resultado negativo (não precisa decorar: o cálculo mostrou isso).

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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