Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade vCM no sentido positivo do eixo horizontal O X. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo F e sentido contrário ao eixo OX. A distância d percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a ( I=2 M R^2 / 5 )
(b) 510 M vCM^2F;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera rolando sem deslizar numa superfície plana e horizontal. Ela está se movendo com uma velocidade $ v_{CM} $ no sentido positivo do eixo $ OX $. De repente, aplicamos uma força constante $ F $ no centro de massa da esfera, no sentido contrário ao movimento. A pergunta quer saber qual a distância $ d $ que a esfera vai percorrer até que sua velocidade angular pare, ou seja, até que a rotação pare.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e leis de Newton para movimento rotacional. Precisaremos entender como a força aplicada afeta tanto a transllação (movimento linear) quanto a rotação da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma esfera rola sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro de massa $ v_{CM} $ e a velocidade angular $ \omega $. Essa relação é dada por:
vCM
Onde $ R $ é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, sabemos que a aplicação da força $ F $ vai desacelerar a esfera tanto na tradução quanto na rotação. Vamos calcular as acelerações lineares e angulares.
A desaceleração linear $ a $ causada pela força $ F $ é dada pela segunda lei de Newton:
F
Então,
a

Passo 4

Para a rotação, a força $ F $ também causa um torque $ \tau $ que desacelera a rotação. O torque é dado por:
F
E a relação entre torque, inércia e aceleração angular $ \alpha $ é:
tau
Dessa forma,
tau = F R
Sabemos que o momento de inércia $ I $ da esfera é $ \frac{2 M R^2}{5} $, então:
alpha

Passo 5

Queremos encontrar a distância $ d $ que a esfera percorre até que a velocidade angular se anule. Isso acontece quando a velocidade angular final $ \omega_f = 0 $.
Usando a equação de movimento para a rotação:
d
Como $ \omega_f = 0 $, temos:
omegaf = 0
Então,
omegaf = omegai + alpha t

Passo 6

Sabemos que $ \omega_i = \frac{v_{CM}}{R} $, então substituindo:
omegai = vCMR

Passo 7

Agora, para encontrar a distância $ d $, usamos a equação de movimento linear:
d
Como a aceleração $ a = -\frac{F}{M} $ (desaceleração), substituímos $ t $:
d = vCM t + 12 a t^2
Simplificando:
a = -FM
t
d = vCM cdot 2 M vCM5 F + 12 cdot (-FM) cdot (2 M vCM5 F)^2

Passo 8

Simplificando a fração:
d = 825 cdot M vCM^2F

Resposta

A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é:
d = 825 M vCM^2F

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