Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade
no sentido positivo do eixo horizontal
. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo F e sentido contrário ao eixo OX. A distância
percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a (
)
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera rolando sem deslizar numa superfície plana e horizontal. Ela está se movendo com uma velocidade $ v_{CM} $ no sentido positivo do eixo $ OX $. De repente, aplicamos uma força constante $ F $ no centro de massa da esfera, no sentido contrário ao movimento. A pergunta quer saber qual a distância $ d $ que a esfera vai percorrer até que sua velocidade angular pare, ou seja, até que a rotação pare.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e leis de Newton para movimento rotacional. Precisaremos entender como a força aplicada afeta tanto a transllação (movimento linear) quanto a rotação da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma esfera rola sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro de massa $ v_{CM} $ e a velocidade angular $ \omega $. Essa relação é dada por:
Onde $ R $ é o raio da esfera.
Passo 3
Agora, sabemos que a aplicação da força $ F $ vai desacelerar a esfera tanto na tradução quanto na rotação. Vamos calcular as acelerações lineares e angulares.
A desaceleração linear $ a $ causada pela força $ F $ é dada pela segunda lei de Newton:
Então,
Passo 4
Para a rotação, a força $ F $ também causa um torque $ \tau $ que desacelera a rotação. O torque é dado por:
E a relação entre torque, inércia e aceleração angular $ \alpha $ é:
Dessa forma,
Sabemos que o momento de inércia $ I $ da esfera é $ \frac{2 M R^2}{5} $, então:
Passo 5
Queremos encontrar a distância $ d $ que a esfera percorre até que a velocidade angular se anule. Isso acontece quando a velocidade angular final $ \omega_f = 0 $.
Usando a equação de movimento para a rotação:
Como $ \omega_f = 0 $, temos:
Então,
Passo 6
Sabemos que $ \omega_i = \frac{v_{CM}}{R} $, então substituindo:
Passo 7
Agora, para encontrar a distância $ d $, usamos a equação de movimento linear:
Como a aceleração $ a = -\frac{F}{M} $ (desaceleração), substituímos $ t $:
Simplificando:
Passo 8
Simplificando a fração:
Resposta
A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é: