Uma barra homogênea, de comprimento
, largura desprezível e livre para se mover está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma bola de dimensões desprezíveis e com a mesma massa da barra viaja sobre a mesa com velocidade constante de módulo
em uma direção perpendicular à barra e a uma distância
da reta paralela à
que passa pelo centro da barra, conforme ilustra a figura abaixo. Após a colisão, a bola permanece grudada à barra e observa-se que o sistema barra+bola gira com velocidade angular 4,4 rad/s com relação ao centro de massa do sistema. Desconsiderando quaisquer forças de atrito determine
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma barra homogênea (ou seja, com densidade uniforme) de comprimento
e uma bola com a mesma massa da barra. A barra está inicialmente parada sobre uma mesa, e a bola está se movendo perpendicularmente à barra a uma velocidade de
, a uma distância
do centro da barra. Quando a bola colide e gruda na barra, o sistema barra+bola começa a girar com uma velocidade angular de
.
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e conservação do momento angular para resolver esse problema e encontrar o comprimento
da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o momento angular. O momento angular (
) é uma medida de quanta rotação um objeto tem, levando em conta sua massa, forma e velocidade. Quando não há forças externas atuando, o momento angular total do sistema é conservado.
Aqui, antes da colisão, a barra está parada, então seu momento angular inicial é zero. A bola, porém, possui momento angular em relação ao centro da barra devido ao seu movimento perpendicular.
Após a colisão, a bola gruda na barra, e o sistema começa a girar. O momento angular total após a colisão é devido à rotação da barra+bola.
Passo 3
Vamos calcular o momento angular da bola antes da colisão. A fórmula para o momento angular (
) de uma partícula em movimento é:
onde:
-
é a massa da bola, -
é a velocidade da bola, -
é a distância perpendicular do ponto de rotação (centro da barra) até a trajetória da bola.
No nosso caso,
.
Passo 4
Após a colisão, a barra e a bola giram juntas. O momento angular total (
) é a soma dos momentos angulares da barra e da bola.
Para a barra, que é um objeto rígido rodando em torno do centro, o momento de inércia (
) é dado por:
E para a bola, que agora está a uma distância
do centro de massa do sistema, o momento de inércia é:
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar a nova distância
, que é a distância do centro da barra ao centro de massa do sistema barra+bola.
Como a barra e a bola têm a mesma massa, o centro de massa estará exatamente no meio entre o centro da barra e a bola. Portanto:
onde
é a distância adicional devido à posição da bola. Mas como estamos considerando o centro da barra como referência, e a bola está a uma distância
antes da colisão, precisamos ajustar isso para encontrar a posição relativa após a colisão.
Passo 6
Na verdade, para simplificar, podemos considerar que após a colisão, o momento angular é apenas devido à rotação do sistema barra+bola em torno do seu centro de massa. Assim, o momento angular total será:
A conservação do momento angular nos diz que:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Somando os termos:
Passo 8
Agora, podemos cancelar a massa
dos dois lados da equação:
Queremos encontrar
, então isolamos
:
Passo 9
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 10
Calculando o valor de
:
Passo 11
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
O comprimento da barra
é aproximadamente 217,7 cm.