Uma barra homogênea, de comprimento L, largura desprezível e livre para se mover está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma bola de dimensões desprezíveis e com a mesma massa da barra viaja sobre a mesa com velocidade constante de módulo |v|=1463 cm / s em uma direção perpendicular à barra e a uma distância h=47,5 cm da reta paralela à v que passa pelo centro da barra, conforme ilustra a figura abaixo. Após a colisão, a bola permanece grudada à barra e observa-se que o sistema barra+bola gira com velocidade angular 4,4 rad/s com relação ao centro de massa do sistema. Desconsiderando quaisquer forças de atrito determine L em cm.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma barra homogênea (ou seja, com densidade uniforme) de comprimento e uma bola com a mesma massa da barra. A barra está inicialmente parada sobre uma mesa, e a bola está se movendo perpendicularmente à barra a uma velocidade de , a uma distância do centro da barra. Quando a bola colide e gruda na barra, o sistema barra+bola começa a girar com uma velocidade angular de .
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e conservação do momento angular para resolver esse problema e encontrar o comprimento da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o momento angular. O momento angular ( ) é uma medida de quanta rotação um objeto tem, levando em conta sua massa, forma e velocidade. Quando não há forças externas atuando, o momento angular total do sistema é conservado.
Aqui, antes da colisão, a barra está parada, então seu momento angular inicial é zero. A bola, porém, possui momento angular em relação ao centro da barra devido ao seu movimento perpendicular.
Após a colisão, a bola gruda na barra, e o sistema começa a girar. O momento angular total após a colisão é devido à rotação da barra+bola.

Passo 3

Vamos calcular o momento angular da bola antes da colisão. A fórmula para o momento angular ( L = m cdot v cdot r ) de uma partícula em movimento é:
onde:
  • é a massa da bola,
  • é a velocidade da bola,
  • é a distância perpendicular do ponto de rotação (centro da barra) até a trajetória da bola.
No nosso caso, .

Passo 4

Após a colisão, a barra e a bola giram juntas. O momento angular total ( Ibarra = 112 m L^2 ) é a soma dos momentos angulares da barra e da bola.
Para a barra, que é um objeto rígido rodando em torno do centro, o momento de inércia ( Ibola = m r^2 ) é dado por:
E para a bola, que agora está a uma distância do centro de massa do sistema, o momento de inércia é:

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar a nova distância hnovo = L2 + h' , que é a distância do centro da barra ao centro de massa do sistema barra+bola.
Como a barra e a bola têm a mesma massa, o centro de massa estará exatamente no meio entre o centro da barra e a bola. Portanto:
onde é a distância adicional devido à posição da bola. Mas como estamos considerando o centro da barra como referência, e a bola está a uma distância antes da colisão, precisamos ajustar isso para encontrar a posição relativa após a colisão.

Passo 6

Na verdade, para simplificar, podemos considerar que após a colisão, o momento angular é apenas devido à rotação do sistema barra+bola em torno do seu centro de massa. Assim, o momento angular total será:
Ltotal = Itotal cdot omega
A conservação do momento angular nos diz que:
Linicial = Ltotal
Então:
m cdot v cdot h = ( 112 m L^2 + m (L2)^2 ) cdot omega

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
m cdot v cdot h = ( 112 m L^2 + 14 m L^2 ) cdot omega
Somando os termos:
m cdot v cdot h = ( 112 + 14 ) m L^2 cdot omega
m cdot v cdot h = ( 112 + 312 ) m L^2 cdot omega
m cdot v cdot h = 412 m L^2 cdot omega
m cdot v cdot h = 13 m L^2 cdot omega

Passo 8

Agora, podemos cancelar a massa v cdot h = 13 L^2 cdot omega dos dois lados da equação:
L^2 = 3 v homega
Queremos encontrar , então isolamos :

Passo 9

Substituindo os valores fornecidos:
v = 1463 , cm/s, h = 47,5 , cm, omega = 4,4 , rad/s
L^2 = 3 times 1463 times 47,54,4

Passo 10

Calculando o valor de L^2 = 3 times 1463 times 47,54,4 approx 208,7854,4 approx 47,452 times 10^3 , cm^2 :

Passo 11

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar L = raiz47,452 times 10^3 approx 217,7 , cm :

Resposta

O comprimento da barra é aproximadamente 217,7 cm.

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