Uma máquina térmica baseada em um gás ideal monoatômico parte de um estado com volume 0,500 m^3 e pressão 2,610^5 Pa. O sistema opera em um ciclo de três etapas:
(1) expansão isobárica até atingir um volume de 0,9 m^3;
(2) esfriamento a volume constante até atingir um quarto da pressão inicial;
(3) retorno até o estado inicial através de um processo linear no diagrama P-V.
Calcule o rendimento da máquina no ciclo (o qual deve ser menor que 1 !).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos diz. Temos uma máquina térmica que trabalha com um gás ideal monoatômico e segue um ciclo de três etapas:
  1. Expansão Isobárica: O volume do gás aumenta de para mantendo a pressão constante em .
  2. Esfriamento a Volume Constante: A pressão do gás diminui para um quarto da pressão inicial, ou seja, , mantendo o volume constante em .
  3. Retorno ao Estado Inicial: O gás retorna ao estado inicial através de um processo linear no diagrama Pressão-Volume (P-V).
Nosso objetivo é calcular o rendimento dessa máquina térmica, que mede quão eficiente ela é na conversão de calor em trabalho. Para isso, vamos precisar das leis dos gases ideais e entender como o trabalho e o calor são relacionados em cada etapa do ciclo.

Passo 2

Etapa 1: Expansão Isobárica
Nesta etapa, o gás se expande mantendo a pressão constante. A fórmula para o trabalho realizado nessa expansão é:
W1 = P De
Onde:
  • W1 = 2,6 times 10^5 , Pa times 0,4 , m^3 = 1,04 times 10^5 , J é a pressão constante ( )
  • é a variação de volume ( )
Calculando:

Passo 3

Etapa 2: Esfriamento a Volume Constante
Aqui, o volume não muda, então o trabalho realizado é zero ( P2 = P4 = 2,6 times 10^5 , Pa4 = 6,5 times 10^4 , Pa ). Entretanto, há troca de calor e mudança na energia interna.
A pressão final De é um quarto da pressão inicial:
Q2 = n Cv De
Como o volume é constante, podemos usar a relação da energia interna para um gás ideal:
Mas para simplificar, podemos calcular o calor trocado usando a relação:
Como o trabalho é zero, todo o calor trocado altera a energia interna.

Passo 4

Etapa 3: Retorno ao Estado Inicial (Processo Linear)
Neste processo, o gás retorna ao estado inicial seguindo uma linha reta no diagrama P-V. Para determinar o trabalho realizado nessa etapa, precisamos calcular a área sob o processo no diagrama P-V.
Como é um processo linear, podemos usar a média das pressões iniciais e finais multiplicada pela variação de volume.
Pressão inicial W3 = P2 + P02 times De
Pressão final W3 = 3,25 times 10^52 times (-0,4) = 1,625 times 10^5 times (-0,4) = -6,5 times 10^4 , J
Variação de volume
Então:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema.

Passo 5

Calculando o Trabalho Total e o Calor Fornecido
O trabalho total Wtotal = W1 + W2 + W3 = 1,04 times 10^5 + 0 - 6,5 times 10^4 = 3,9 times 10^4 , J é a soma dos trabalhos de cada etapa:
Qin = W1 = 1,04 times 10^5 , J
Para calcular o rendimento, precisamos do calor fornecido durante o ciclo. O calor fornecido ocorre na etapa 1 (expansão isobárica):

Passo 6

Calculando o Rendimento ( eta = WtotalQin = 3,9 times 10^41,04 times 10^5 approx 0,375 )
O rendimento de uma máquina térmica é dado por:
eta approx 37,5%
Convertendo para porcentagem:

Resposta

O rendimento da máquina térmica no ciclo é aproximadamente .

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