Uma máquina térmica baseada em um gás ideal monoatômico parte de um estado com volume
e pressão
Pa. O sistema opera em um ciclo de três etapas:
(1) expansão isobárica até atingir um volume de
;
(2) esfriamento a volume constante até atingir um quarto da pressão inicial;
(3) retorno até o estado inicial através de um processo linear no diagrama P-V.
Calcule o rendimento da máquina no ciclo (o qual deve ser menor que 1 !).
(1) expansão isobárica até atingir um volume de
(2) esfriamento a volume constante até atingir um quarto da pressão inicial;
(3) retorno até o estado inicial através de um processo linear no diagrama P-V.
Calcule o rendimento da máquina no ciclo (o qual deve ser menor que 1 !).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema nos diz. Temos uma máquina térmica que trabalha com um gás ideal monoatômico e segue um ciclo de três etapas:
- Expansão Isobárica: O volume do gás aumenta de
para mantendo a pressão constante em . - Esfriamento a Volume Constante: A pressão do gás diminui para um quarto da pressão inicial, ou seja,
, mantendo o volume constante em . - Retorno ao Estado Inicial: O gás retorna ao estado inicial através de um processo linear no diagrama Pressão-Volume (P-V).
Nosso objetivo é calcular o rendimento dessa máquina térmica, que mede quão eficiente ela é na conversão de calor em trabalho. Para isso, vamos precisar das leis dos gases ideais e entender como o trabalho e o calor são relacionados em cada etapa do ciclo.
Passo 2
Etapa 1: Expansão Isobárica
Nesta etapa, o gás se expande mantendo a pressão constante. A fórmula para o trabalho realizado nessa expansão é:
Onde:
-
é a pressão constante ( ) -
é a variação de volume ( )
Calculando:
Passo 3
Etapa 2: Esfriamento a Volume Constante
Aqui, o volume não muda, então o trabalho realizado é zero (
). Entretanto, há troca de calor e mudança na energia interna.
A pressão final
é um quarto da pressão inicial:
Como o volume é constante, podemos usar a relação da energia interna para um gás ideal:
Mas para simplificar, podemos calcular o calor trocado usando a relação:
Como o trabalho é zero, todo o calor trocado altera a energia interna.
Passo 4
Etapa 3: Retorno ao Estado Inicial (Processo Linear)
Neste processo, o gás retorna ao estado inicial seguindo uma linha reta no diagrama P-V. Para determinar o trabalho realizado nessa etapa, precisamos calcular a área sob o processo no diagrama P-V.
Como é um processo linear, podemos usar a média das pressões iniciais e finais multiplicada pela variação de volume.
Pressão inicial
Pressão final
Variação de volume
Então:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema.
Passo 5
Calculando o Trabalho Total e o Calor Fornecido
O trabalho total
é a soma dos trabalhos de cada etapa:
Para calcular o rendimento, precisamos do calor fornecido durante o ciclo. O calor fornecido ocorre na etapa 1 (expansão isobárica):
Passo 6
Calculando o Rendimento (
)
O rendimento de uma máquina térmica é dado por:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
O rendimento da máquina térmica no ciclo é aproximadamente
.