Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade
no sentido positivo do eixo horizontal
. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo F e sentido contrário ao eixo OX. A distância
percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a (
)
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera rolando sem deslizar sobre uma superfície plana. Ela tem uma velocidade no centro de massa, $ v_{CM} $, na direção positiva do eixo X. De repente, aplicam uma força $ F $ no centro de massa, mas na direção contrária ao eixo X. Queremos descobrir a distância $ d $ que a esfera percorre até que sua velocidade angular pare. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, torque e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, como a esfera está rolando sem deslizar, temos uma relação entre a velocidade linear do centro de massa e a velocidade angular:
onde $ \omega $ é a velocidade angular e $ R $ é o raio da esfera.
Passo 3
Quando aplicamos a força $ F $ na direção contrária ao movimento, ela vai desacelerar a esfera tanto linearmente quanto angularmente. A força $ F $ vai causar uma aceleração linear:
onde $ M $ é a massa da esfera.
Passo 4
Além disso, a força $ F $ vai criar um torque ($ \tau $) que afeta a rotação:
Esse torque está na direção que vai reduzir a velocidade angular da esfera.
Passo 5
A relação entre torque, momento de inércia ($ I
\alpha $) é:
Sabemos que o momento de inércia da esfera é $ I = \frac{2}{5} M R^2 $, então:
Simplificando:
Passo 6
Queremos saber quando a velocidade angular $ \omega $ chega a zero. Sabemos que:
Como queremos $ \omega = 0 $:
Então:
Passo 7
Sabemos que $ \omega_0 = \frac{v_{CM}}{R} $, então substituindo:
Passo 8
Agora, queremos a distância $ d $ percorrida nesse tempo. Usamos a fórmula da cinemática para movimento uniformemente acelerado:
Sabemos que $ a = -\frac{F}{M} $ (aceleração negativa), então:
Simplificando:
Resposta
A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é: