- Uma esfera de um rolamento, abandonada do repouso, cai através de um meio viscoso. A força retardadora que age sobre ela tem módulo
, onde
é uma constante que depende do raio da bola e da viscosidade do meio. Calcule a velocidade final atingida pela esfera e o tempo necessário para atingir metade desta velocidade.
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera que cai no vácuo de um meio viscoso, sofrendo duas forças: o peso
para baixo e uma força de arrasto proporcional à velocidade, de módulo
, para cima. Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para montar uma equação diferencial de primeira ordem e daí extrair a velocidade terminal e o tempo para atingir metade dela.
Passo 2
Escrevendo a resultante das forças na direção vertical positiva para baixo, temos
Para a velocidade terminal
, o sistema entra em regime permanente e
, logo
Passo 3
Para obter
resolvemos
Esse é um ODE linear de coeficiente constante. Usando fator integrante ou separação de variáveis, chega-se a
Passo 4
O tempo
para que
obedece
e assim
Resposta
Velocidade terminal:
Tempo para atingir metade de
: