1. Uma esfera de um rolamento, abandonada do repouso, cai através de um meio viscoso. A força retardadora que age sobre ela tem módulo b v, onde b é uma constante que depende do raio da bola e da viscosidade do meio. Calcule a velocidade final atingida pela esfera e o tempo necessário para atingir metade desta velocidade.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera que cai no vácuo de um meio viscoso, sofrendo duas forças: o peso mg para baixo e uma força de arrasto proporcional à velocidade, de módulo b,v, para cima. Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para montar uma equação diferencial de primeira ordem e daí extrair a velocidade terminal e o tempo para atingir metade dela.

Passo 2

Escrevendo a resultante das forças na direção vertical positiva para baixo, temos
m,dvdt=mg - b,v
Para a velocidade terminal ,vinfty, o sistema entra em regime permanente e dvdt=0, logo
0=mg - b,vinfty Rightarrow vinfty=mgb

Passo 3

Para obter v(t) resolvemos
dvdt + bm,v = g
Esse é um ODE linear de coeficiente constante. Usando fator integrante ou separação de variáveis, chega-se a
v(t) =mgbl(1 - e^-bm,tr)

Passo 4

O tempo t1/2 para que v(t1/2)=tfrac12,vinfty obedece
12 =1 - e^-bmt1/2 Rightarrow e^-bmt1/2=12 Rightarrow -bm,t1/2=-ln2
e assim
t1/2=mb,ln2

Resposta

Velocidade terminal:
vinfty=mgb
Tempo para atingir metade de vinfty:
t1/2=mb,ln2

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