Uma esfera sólida condutora possui raio R e uma carga total positiva q. Calcule o potencial V em todos os pontos do exterior e do interior da esfera e faça o gráfico de V pela distância r ao centro da esfera.
Passo 1
O enunciado pede claramente o potencial elétrico V em todos os pontos do espaço para uma esfera sólida condutora de raio R que possui carga total positiva q. As informações dadas e as perguntas são:
Dados: esfera condutora sólida de raio R e carga total q>0.
Pedidos:
Calcular V para r>R (região exterior).
Calcular V para r<R (região interior).
Fazer o gráfico de V em função da distância r ao centro da esfera.
Convenção de referência: vamos adotar V(\infty)=0. Esta escolha é a mais comum e facilita os cálculos.
Passo 2
Entendendo a física e as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático (aula rápida e prática).
Em um condutor em equilíbrio eletrostático, no interior do material condutor o campo elétrico é zero. Isso vem da ideia que cargas livres se movem até que não haja campo interno que as force mais. Logo:\vec{E}(r)=\vec{0}\quad\text{para }0\le r<R.
Toda a carga elétrica de um condutor carregado reside na superfície externa. Portanto a carga total q está distribuída na superfície r=R.
Fora da esfera, pela simetria esférica, o campo elétrico se comporta como o campo de uma carga pontual q situada no centro:
isto pode ser mostrado usando a Lei de Gauss.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para encontrar \vec{E} fora da esfera (passo a passo didático).
Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície gaussiana fechada,\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e q_{\text{int}} é a carga interna à superfície.
Escolhe-se uma superfície gaussiana esférica de raio r>R, concêntrica com a esfera condutora. Por simetria, \vec{E} tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície, então:E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}.
Campo elétrico dentro da esfera (reforço didático).
Como dito, dentro do condutor E(r)=0 para r<R. Isso resulta diretamente do fato de que cargas livres se rearranjam para anular o campo interno.
Em r=R existe, em geral, uma descontinuidade do campo radial: imediatamente fora E(R^+)=kq/R^2 e imediatamente dentro E(R^-)=0. Essa descontinuidade é associada à densidade superficial de carga na superfície.
Passo 5
Relação entre campo elétrico e potencial elétrico (aula prática para usar na prova).
A relação fundamental é \vec{E}=-\nabla V. Em problemas com simetria radial, isso fica:E_r(r)=-\frac{dV}{dr}.
Para obter V(r) a partir de E(r) usa-se a integral:V(r)-V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} E_r(r')\,dr'.
Como adotamos V(\infty)=0, é conveniente calcular V(r) para r finito porV(r)= -\int_{\infty}^{r} E_r(r')\,dr'.
Passo 6
Calculando V(r) para r>R (integração passo a passo).
Substitui-se E_r(r')=kq/{r'^2} na integral com limite \infty até r:V(r)= -\int_{\infty}^{r} k\frac{q}{r'^2}\,dr'.
Calcule a primitiva: \displaystyle \int \frac{1}{r'^2}\,dr'=-\frac{1}{r'}. EntãoV(r)= -kq\left[-\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r}= -kq\Big(-\frac{1}{r}+0\Big)=k\frac{q}{r}.Portanto, para r>R,V(r)=k\frac{q}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}.
Observação intuitiva: fora da esfera o potencial é igual ao potencial de uma carga pontual q colocada no centro.
Passo 7
Calculando V(r) para r<R (uso da propriedade de condutores e continuidade do potencial).
Dentro do condutor E(r)=0, logo -\dfrac{dV}{dr}=0 implica que V é constante para 0\le r<R.
Para achar o valor dessa constante usamos continuidade do potencial na superfície: V(R^-)=V(R^+). (O potencial é contínuo mesmo que o campo não seja.)
Já achamos V(R^+)=kq/R. Portanto para todo r\le R,V(r)=V(R)=k\frac{q}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{R}.
Observe que o potencial no centro r=0 é finito e igual a kq/R.
Passo 8
Resumo das fórmulas finais e comentário físico curto (como decorar na prova).
Dica de prova: memorize o resultado básico: dentro do condutor potencial constante igual ao potencial da superfície; fora como carga pontual.]
Passo 9
Descrição do gráfico de V versus r (como desenhar na prova).
Eixo horizontal: r (distância ao centro), com marca em r=R.
Eixo vertical: V(r).
Para 0\le r\le R: uma linha horizontal em V=kq/R.
Em r=R a curva continua suavemente: o valor em R é kq/R.
Para r>R: é a curva decrescente V(r)=kq/r (hiperbólica), que tende a zero quando r\to\infty.
Assim o gráfico mostra uma reta horizontal até r=R e depois uma queda suave em 1/r para 0. Não há salto no valor de V em R, apenas mudança de inclinação (derivada) por causa do salto de E.