Uma esfera sólida condutora possui raio R e uma carga total positiva q. Calcule o potencial V em todos os pontos do exterior e do interior da esfera e faça o gráfico de V pela distância r ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado pede claramente o potencial elétrico V em todos os pontos do espaço para uma esfera sólida condutora de raio R que possui carga total positiva q. As informações dadas e as perguntas são:
  • Dados: esfera condutora sólida de raio R e carga total q>0.
  • Pedidos:
    1. Calcular V para r>R (região exterior).
    2. Calcular V para r<R (região interior).
    3. Fazer o gráfico de V em função da distância r ao centro da esfera.
  • Convenção de referência: vamos adotar V(\infty)=0. Esta escolha é a mais comum e facilita os cálculos.

Passo 2

Entendendo a física e as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático (aula rápida e prática).
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, no interior do material condutor o campo elétrico é zero. Isso vem da ideia que cargas livres se movem até que não haja campo interno que as force mais. Logo: \vec{E}(r)=\vec{0}\quad\text{para }0\le r<R.
  • Toda a carga elétrica de um condutor carregado reside na superfície externa. Portanto a carga total q está distribuída na superfície r=R.
  • Fora da esfera, pela simetria esférica, o campo elétrico se comporta como o campo de uma carga pontual q situada no centro:
    isto pode ser mostrado usando a Lei de Gauss.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para encontrar \vec{E} fora da esfera (passo a passo didático).
  • Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície gaussiana fechada, \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e q_{\text{int}} é a carga interna à superfície.
  • Escolhe-se uma superfície gaussiana esférica de raio r>R, concêntrica com a esfera condutora. Por simetria, \vec{E} tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície, então: E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(r): E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\quad\text{para }r>R.É comum definir k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, então E(r)=k\frac{q}{r^2}\quad\text{para }r>R.

Passo 4

Campo elétrico dentro da esfera (reforço didático).
  • Como dito, dentro do condutor E(r)=0 para r<R. Isso resulta diretamente do fato de que cargas livres se rearranjam para anular o campo interno.
  • Em r=R existe, em geral, uma descontinuidade do campo radial: imediatamente fora E(R^+)=kq/R^2 e imediatamente dentro E(R^-)=0. Essa descontinuidade é associada à densidade superficial de carga na superfície.

Passo 5

Relação entre campo elétrico e potencial elétrico (aula prática para usar na prova).
  • A relação fundamental é \vec{E}=-\nabla V. Em problemas com simetria radial, isso fica: E_r(r)=-\frac{dV}{dr}.
  • Para obter V(r) a partir de E(r) usa-se a integral: V(r)-V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} E_r(r')\,dr'.
  • Como adotamos V(\infty)=0, é conveniente calcular V(r) para r finito por V(r)= -\int_{\infty}^{r} E_r(r')\,dr'.

Passo 6

Calculando V(r) para r>R (integração passo a passo).
  • Substitui-se E_r(r')=kq/{r'^2} na integral com limite \infty até r: V(r)= -\int_{\infty}^{r} k\frac{q}{r'^2}\,dr'.
  • Calcule a primitiva: \displaystyle \int \frac{1}{r'^2}\,dr'=-\frac{1}{r'}. Então V(r)= -kq\left[-\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r}= -kq\Big(-\frac{1}{r}+0\Big)=k\frac{q}{r}.Portanto, para r>R, V(r)=k\frac{q}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}.
  • Observação intuitiva: fora da esfera o potencial é igual ao potencial de uma carga pontual q colocada no centro.

Passo 7

Calculando V(r) para r<R (uso da propriedade de condutores e continuidade do potencial).
  • Dentro do condutor E(r)=0, logo -\dfrac{dV}{dr}=0 implica que V é constante para 0\le r<R.
  • Para achar o valor dessa constante usamos continuidade do potencial na superfície: V(R^-)=V(R^+). (O potencial é contínuo mesmo que o campo não seja.)
  • Já achamos V(R^+)=kq/R. Portanto para todo r\le R, V(r)=V(R)=k\frac{q}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{R}.
  • Observe que o potencial no centro r=0 é finito e igual a kq/R.

Passo 8

Resumo das fórmulas finais e comentário físico curto (como decorar na prova).
  • Resumindo: V(r)=\begin{cases} \displaystyle k\frac{q}{R} & \text{para }0\le r\le R,\\[8pt] \displaystyle k\frac{q}{r} & \text{para }r\ge R, \end{cases}com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} e adotando V(\infty)=0.
  • Dica de prova: memorize o resultado básico: dentro do condutor potencial constante igual ao potencial da superfície; fora como carga pontual.]

Passo 9

Descrição do gráfico de V versus r (como desenhar na prova).
  • Eixo horizontal: r (distância ao centro), com marca em r=R.
  • Eixo vertical: V(r).
  • Para 0\le r\le R: uma linha horizontal em V=kq/R.
  • Em r=R a curva continua suavemente: o valor em R é kq/R.
  • Para r>R: é a curva decrescente V(r)=kq/r (hiperbólica), que tende a zero quando r\to\infty.
  • Assim o gráfico mostra uma reta horizontal até r=R e depois uma queda suave em 1/r para 0. Não há salto no valor de V em R, apenas mudança de inclinação (derivada) por causa do salto de E.

Resposta

V(r)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{R}, & 0\le r\le R,\\[10pt] \displaystyle \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{r}, & r\ge R. \end{cases}]

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