Uma esfera sólida (condutora) tem raio R e carga total Q<0. Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera sólida condutora de raio R com carga total Q<0. A tarefa é calcular o campo elétrico em todos os pontos do espaço — isto é, em três regiões claramente distintas: dentro da esfera ( 0\le r<R), exatamente sobre a superfície ( r=R) e fora da esfera ( r>R). Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a esfera é condutora, tem raio R e carga total Q (negativa).

Passo 2

Conceito-chave 1 — comportamento de um condutor em equilíbrio eletrostático. Numa peça condutora em equilíbrio:
\text{o campo elétrico no interior do condutor é } \mathbf{0}.éé
Explicação didática: dentro do condutor existem cargas livres (elétrons). Se houvesse um campo elétrico não nulo dentro, essas cargas livres se moveriam sob a ação do campo até que o campo interno se anule. No equilíbrio o movimento pára, logo o campo interno deve ser zero. Consequência prática: qualquer carga extra colocada num condutor em equilíbrio acaba distribuída sobre a superfície externa do condutor (para uma peça isolada e simplesmente conexa).

Passo 3

Conceito-chave 2 — Lei de Gauss (forma integral) e simetria esférica. A Lei de Gauss diz:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde S é uma superfície fechada, Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de S e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui temos simetria esférica (esfera carregada), então para uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r o campo tem direção radial e mesma magnitude em todos os pontos da superfície: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat r. Assim o fluxo vira E(r)\cdot 4\pi r^2.

Passo 4

Campo dentro da esfera ( 0\le r<R). Como vimos no Passo 2, em equilíbrio eletrostático o campo no interior do condutor é nulo. Podemos também obter isso com Gauss: para uma superfície gaussiana esférica com raio r<R a carga interna Q_{\text{int}}=0 (toda a carga está na superfície externa). Aplicando Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{0}{\varepsilon_0}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Portanto, para 0\le r<R temos \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}. Comentário prático: mesmo que o sólido seja maciço, cargas livres só se acomodam na superfície externa.

Passo 5

Campo fora da esfera ( r>R). Escolha uma superfície gaussiana esférica de raio r>R. Agora a carga interna é a carga total Q. Aplicando Gauss com simetria radial:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.
Em vetor:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r\qquad (r>R).
Interpretação do sinal: aqui \hat r é o versor radial apontando para fora. Como Q<0, o fator \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} é negativo, ou seja o campo aponta no sentido -\hat r (para dentro) — isso corresponde ao fato de cargas negativas atraírem cargas positivas de prova, então o campo aponta para o centro.

Passo 6

Campo exatamente na superfície ( r=R) e densidade superficial. A densidade superficial de carga na superfície (retirada da informação de que a carga total Q está toda na superfície esférica de área 4\pi R^2) é
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}.
Os valores limites do campo na superfície são:
\mathbf{E}(R^-)=\mathbf{0}\quad\text{(limite interno)},
\mathbf{E}(R^+)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\,\hat r\quad\text{(limite externo)}.
A descontinuidade do componente normal do campo é dada por
\mathbf{E}(R^+)-\mathbf{E}(R^-)=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat r,
o que confere com \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\,\hat r. Para Q<0, esse campo externo aponta para dentro.

Passo 7

Resumo físico e dica de prova: ao ver “esfera condutora” já decore mentalmente dois fatos úteis para a prova — (i) dentro do condutor \mathbf{E}=\mathbf{0}, (ii) fora do condutor o campo é como se toda a carga estivesse concentrada no centro (campo de uma carga pontual Q colocada na origem). Use Gauss com superfícies esféricas concêntricas para aplicar isso rapidamente em prova.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }0\le r<R.\n
\displaystyle \mathbf{E}(R^-)=\mathbf{0},\qquad \mathbf{E}(R^+)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\,\hat r,\qquad \sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}.\n
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat r\quad\text{para }r>R.

Exercícios relacionados