Uma esfera sólida (condutora) tem raio
e carga total
. Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Explique.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera sólida condutora de raio
com carga total
. A tarefa é calcular o campo elétrico em todos os pontos do espaço — isto é, em três regiões claramente distintas: dentro da esfera (
), exatamente sobre a superfície (
) e fora da esfera (
). Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a esfera é condutora, tem raio
e carga total
(negativa).
Passo 2
Conceito-chave 1 — comportamento de um condutor em equilíbrio eletrostático. Numa peça condutora em equilíbrio:
Explicação didática: dentro do condutor existem cargas livres (elétrons). Se houvesse um campo elétrico não nulo dentro, essas cargas livres se moveriam sob a ação do campo até que o campo interno se anule. No equilíbrio o movimento pára, logo o campo interno deve ser zero. Consequência prática: qualquer carga extra colocada num condutor em equilíbrio acaba distribuída sobre a superfície externa do condutor (para uma peça isolada e simplesmente conexa).
Passo 3
Conceito-chave 2 — Lei de Gauss (forma integral) e simetria esférica. A Lei de Gauss diz:
onde
é uma superfície fechada,
é a carga total contida dentro de
e
é a permissividade do vácuo. Aqui temos simetria esférica (esfera carregada), então para uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
o campo tem direção radial e mesma magnitude em todos os pontos da superfície:
. Assim o fluxo vira
.
Passo 4
Campo dentro da esfera (
). Como vimos no Passo 2, em equilíbrio eletrostático o campo no interior do condutor é nulo. Podemos também obter isso com Gauss: para uma superfície gaussiana esférica com raio
a carga interna
(toda a carga está na superfície externa). Aplicando Gauss:
Portanto, para
temos
. Comentário prático: mesmo que o sólido seja maciço, cargas livres só se acomodam na superfície externa.
Passo 5
Campo fora da esfera (
). Escolha uma superfície gaussiana esférica de raio
. Agora a carga interna é a carga total
. Aplicando Gauss com simetria radial:
Em vetor:
Interpretação do sinal: aqui
é o versor radial apontando para fora. Como
, o fator
é negativo, ou seja o campo aponta no sentido
(para dentro) — isso corresponde ao fato de cargas negativas atraírem cargas positivas de prova, então o campo aponta para o centro.
Passo 6
Campo exatamente na superfície (
) e densidade superficial. A densidade superficial de carga na superfície (retirada da informação de que a carga total
está toda na superfície esférica de área
) é
Os valores limites do campo na superfície são:
A descontinuidade do componente normal do campo é dada por
o que confere com
. Para
, esse campo externo aponta para dentro.
Passo 7
Resumo físico e dica de prova: ao ver “esfera condutora” já decore mentalmente dois fatos úteis para a prova — (i) dentro do condutor
, (ii) fora do condutor o campo é como se toda a carga estivesse concentrada no centro (campo de uma carga pontual
colocada na origem). Use Gauss com superfícies esféricas concêntricas para aplicar isso rapidamente em prova.