Considere um fio (não-condutor) muito fino de comprimento
. Sabendo-se que o fio possui densidade linear de carga constante
, calcule o campo elétrico sob a reta perpendicular que passa pela metade do fio a uma altura
do mesmo. Explique.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o campo elétrico no ponto que fica sobre a reta perpendicular ao fio, que passa pelo ponto médio do fio, a uma distância
do fio. Informação dada: o fio é muito fino, de comprimento
, não condutor, com densidade linear de carga constante
. Queremos o campo elétrico nesse ponto (módulo e direção).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas para ficar claro. Colocamos o fio ao longo do eixo
, centrado na origem, de
até
. O ponto onde queremos o campo fica em
sobre o eixo
. Assim:
Tomar coordenadas facilita a simetria e a integração.
Passo 3
A física que usamos (uma “aula rápida” de Coulomb): um elemento de carga
localizado em
produz um campo infinitesimal
onde
é a distância do elemento até o ponto e
é o versor nessa direção. Aqui, como a densidade linear é constante, um elemento de comprimento
contém
A distância entre o ponto
do fio e o ponto
é
Passo 4
Expressamos o vetor
em componentes. A direção de
vai do elemento de carga até o ponto
. Suas componentes são
mas por simetria os contributions horizontais de
e
se cancelam, porque para cada elemento em
existe outro em
que tem
de mesmo módulo e sinal oposto. Logo o campo resultante tem apenas componente vertical (no eixo
). Portanto
Passo 5
Integramos
ao longo do fio, de
a
:
Para facilitar a integral, note que o integrando é função par em
, então podemos usar duas vezes a integral de
a
, ou fazer substituição trigonométrica. Vou usar substituição trigonométrica para mostrar o passo a passo.
Passo 6
Fazemos a substituição
. Então
e
portanto
O numerador
vira
. Assim o integrando se simplifica:
Agora precisamos dos limites em
. Quando
,
. Quando
,
. Chamando
, a integral fica
Passo 7
Voltamos à variável geométrica. Temos
com
. Num triângulo retângulo com tangente
, o seno é
Portanto a integral vale
Multiplicando pelo fator externo, obtemos a componente vertical do campo:
Passo 8
Interpretação do sinal e direção: como
, o campo aponta para longe da carga; no ponto em
(acima do fio) o vetor campo aponta para cima. Assim o campo vetorial é
com
dado acima. É bom checar limites para ver se faz sentido:
\n (i) Se , então
e
\n (i) Se
que é exatamente o campo de uma linha infinita (confere).\n (ii) Se
(carga muito concentrada), escrevendo
obtemos
que é o campo de uma carga pontual a distância
(confere).