Um plano infinito muito fino tem densidade superficial de carga constante
. Supondo que um disco de raio
seja removido do plano, calcule o campo elétrico ao longo de uma reta (de altura
) que passa pelo centro do disco removido e faz um ângulo de
com o plano. Explique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
- Temos um plano infinito muito fino (localizado no plano
) com densidade superficial de carga constante . - Do plano foi removido um disco de raio
centrado na origem (ou seja, a região com no plano não tem carga). - Queremos calcular o campo elétrico ao longo da reta perpendicular ao plano que passa pelo centro do disco removido, ou seja, o eixo
passando por , em um ponto de altura (assumimos acima do plano). - Dados relevantes:
(densidade superficial), raio do disco , altura , e a constante (permitividade do vácuo).
O que se pede: o campo elétrico
no ponto sobre o eixo a distância
do plano (no sentido perpendicular), explicando e mostrando como obter esse resultado passo a passo.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): usamos o princípio da superposição. Podemos representar a situação como a soma de dois problemas mais simples que conhecemos:
- Um plano infinito com densidade
em toda a extensão (campo conhecido e uniforme). - Sobre esse plano colocamos, com sinal oposto, um disco de densidade superficial
(ou seja, subtraímos a contribuição do disco com densidade para representar o buraco).
Portanto o campo total no ponto será
Vou calcular
por Gauss e
por integração (analisando anéis), e então combinar as contribuições. Isso é prático e padrão em provas.
Passo 3
Campo de um plano infinito com densidade superficial
(Gauss) — explicação didática:
- Considere uma “caixa-pílula” gaussiana atravessando o plano, com faces paralelas ao plano e espessura simétrica em relação a
. - Pelo simetria, o campo elétrico é perpendicular ao plano e tem mesma magnitude nas duas faces opostas; nas faces laterais o fluxo é zero.
- Aplicando a Lei de Gauss:
- O fluxo total é
(duas faces de área ), e a carga interna é . Logo
- Cancelando
e isolando :
- Direção: para
, o campo sai do plano; no lado o vetor campo é
Passo 4
Campo no eixo de um disco uniformemente carregado — montagem do integral usando anéis:
- Considere um disco de raio
(no final vamos pôr ) com densidade superficial . Queremos o campo em um ponto sobre o eixo a distância do plano (aqui nosso será ). - Corte o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . Cada anel tem área e carga
- O campo no ponto sobre o eixo devido ao anel é dirigido ao longo do eixo (pela simetria radial as componentes transversais se cancelam). A contribuição axial do anel, usando a lei de Coulomb para um anel, é
- Substituindo
:
Passo 5
Integração do anel ao disco inteiro e avaliação do integral:
- Integrar
de até :
- Faça a substituição
, assim e . Os limites: quando , ; quando , . - O integral fica
- Para
temos , então o resultado é
- Portanto o campo axial do disco (para
) é
e a direção é
(isto é, para
, o disco empurra para cima no lado
).
Passo 6
Aplicando superposição: plano com buraco = plano infinito inteiro menos disco carregado positivo
- Representamos o plano com o buraco como a soma do plano infinito com densidade
e um disco com densidade (ou equivalentemente plano inteiro menos disco com ). - No ponto de altura
sobre o eixo, o campo do plano infinito (passo 3) é
- O campo do disco com densidade
(passo 5) em é
- Como removemos o disco, devemos subtrair essa contribuição (ou adicionar o disco com densidade
). Assim o campo total é
Passo 7
Cálculo algébrico final e substituição
:
- Substituindo as expressões:
- Agora coloque
:
- Interpretação rápida (checagem física):
- Quando
, (faz sentido: exatamente no plano no centro do buraco o campo se anula por simetria). - Quando
, (recupera o campo do plano inteiro visto de longe). - Quando
(pequeno furo), (quase plano inteiro). - Direção: para
o vetor aponta para cima ( ), ou seja, para fora do plano, porque .
- Quando