Uma esfera sólida isolante de raio a está carregada com densidade volumétrica rho uniforme e carga total Q. Concêntrica a esta esfera existe uma camada condutora de raios b e c. Determine a carga induzida por unidade de área sobre as superfícies interna e externa da camada condutora. [?]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma esfera sólida isolante de raio $ a $ com uma densidade de carga volumétrica uniforme $ \rho $, o que resulta em uma carga total $ Q $. Concéntrica a essa esfera, existe uma camada condutora com raios internos $ b $ e externos $ c $. Nosso objetivo é encontrar a carga induzida por unidade de área nas superfícies interna e externa dessa camada condutora. Para resolver isso, vamos usar Lei de Gauss e conceitos de electrostática sobre condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso significa que a carga livre se redistribui apenas nas superfícies interna e externa do condutor.

Passo 3

Vamos calcular a carga total $ Q $ da esfera isolante usando a densidade volumétrica $ \rho $. A relação entre a carga total $ Q $, a densidade $ \rho $, e o volume da esfera é:
Q

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico nas diferentes regiões:
  1. Dentro da esfera isolante ($ r < a $):
    O campo elétrico depende da distância do centro. Usamos a simetria esférica para aplicar a Lei de Gauss.
  2. Entre a esfera isolante e a camada condutora ($ a < r < b $):
    Aqui, o campo elétrico é devido à esfera carregada.
  3. Dentro do condutor ($ b < r < c $):
    O campo elétrico é zero, já que é condutor em equilíbrio.
  4. Fora do condutor ($ r > c $):
    O campo elétrico é determinado pela carga total no sistema.

Passo 5

Focando na camada condutora, vamos considerar o equilíbrio eletrostático:
  • A carga na superfície interna da camada condutora deve neutralizar a carga da esfera interna para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero. Portanto, a carga induzida na superfície interna será $ -Q $.
  • A carga total na camada condutora é neutra se não houver carga externa adicionada. Portanto, a carga na superfície externa será $ +Q $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a carga por unidade de área nas superfícies interna e externa:
  • Superfície interna (raio $ b $):
    A área da superfície interna é $ 4\pi b^2 $. A carga induzida é $ -Q $, então a carga por unidade de área é:
    b
  • Superfície externa (raio $ c $):
    A área da superfície externa é $ 4\pi c^2 $. A carga induzida é $ +Q $, então a carga por unidade de área é:
    4pi b^2

Resposta

A carga induzida por unidade de área na superfície interna da camada condutora é $ \sigma_{interna} = \dfrac{-Q}{4\pi b^2} $ e na superfície externa é $ \sigma_{externa} = \dfrac{Q}{4\pi c^2} $.

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