Uma esfera isolante de raio
possui uma carga
distribuída uniformemente ao longo de seu volume. Determine o módulo do campo elétrico dentro
e fora
da esfera. Compare com o resultado encontrado para uma esfera condutora. [?]
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera isolante de raio $ R $ com uma carga total $ Q $ distribuída uniformemente por todo o seu volume. A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico $ E $ dentro da esfera ($ r < R
r > R $). Também vamos comparar com o caso de uma esfera condutora, onde a carga fica toda na superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para distribuir a carga uniformemente no volume, a densidade volumétrica de carga $ \rho $ é constante. Podemos calcular $ \rho $ usando:
Isso porque o volume da esfera é $ \frac{4}{3} \pi R^3 $.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde $ Q_{envolvida} $ é a carga dentro da superfície de Gauss e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Para $ r < R $ (dentro da esfera):
A carga dentro da superfície de Gauss (uma esfera de raio $ r $) é proporcional ao volume dela. Então:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Então, isolando $ E $:
Passo 6
Para $ r > R $ (fora da esfera):
Toda a carga $ Q $ está dentro da superfície de Gauss. Então:
Isolando $ E $:
Passo 7
Comparando com uma esfera condutora:
Em uma esfera condutora, toda a carga $ Q $ está na superfície. Portanto:
- Para $ r < R $: $ E = 0 $ (dentro do condutor, o campo elétrico é nulo).
- Para $ r > R $: $ E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} $ (igual fora da esfera isolante).
Resposta
Dentro da esfera isolante ($ r < R $), o campo elétrico é $ E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}
r > R $), o campo elétrico é $ E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} $. Comparando com uma esfera condutora, que tem $ E = 0 $ para $ r < R $ e o mesmo $ E $ para $ r > R $.