Uma esfera isolante de raio R possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo de seu volume. Determine o módulo do campo elétrico dentro (r e fora (r>R) da esfera. Compare com o resultado encontrado para uma esfera condutora. [?]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera isolante de raio $ R $ com uma carga total $ Q $ distribuída uniformemente por todo o seu volume. A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico $ E $ dentro da esfera ($ r < R R r > R $). Também vamos comparar com o caso de uma esfera condutora, onde a carga fica toda na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para distribuir a carga uniformemente no volume, a densidade volumétrica de carga $ \rho $ é constante. Podemos calcular $ \rho $ usando:
rho
Isso porque o volume da esfera é $ \frac{4}{3} \pi R^3 $.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qenvolvidavarepsilon0
Onde $ Q_{envolvida} $ é a carga dentro da superfície de Gauss e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Para $ r < R $ (dentro da esfera):
A carga dentro da superfície de Gauss (uma esfera de raio $ r $) é proporcional ao volume dela. Então:
r < R

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4 pi r^2 = Q ( rR )^3varepsilon0
Então, isolando $ E $:
E

Passo 6

Para $ r > R $ (fora da esfera):
Toda a carga $ Q $ está dentro da superfície de Gauss. Então:
r > R
Isolando $ E $:
Q

Passo 7

Comparando com uma esfera condutora:
Em uma esfera condutora, toda a carga $ Q $ está na superfície. Portanto:
  • Para $ r < R $: $ E = 0 $ (dentro do condutor, o campo elétrico é nulo).
  • Para $ r > R $: $ E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} $ (igual fora da esfera isolante).

Resposta

Dentro da esfera isolante ($ r < R $), o campo elétrico é $ E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} r < R r > R $), o campo elétrico é $ E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} $. Comparando com uma esfera condutora, que tem $ E = 0 $ para $ r < R $ e o mesmo $ E $ para $ r > R $.

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