Uma esfera sólida de metal de 10 cm de diâmetro \left[\rho=8.954 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{Cp}=\right. \left.383 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right], inicialmente a uma temperatura uniforme T =230^{\circ} \mathrm{C}, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a uma temperatura uniforme \mathrm{T} \infty=40^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de calor entre a esfera e o fluido é \mathrm{h}=220 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Verifique se é possível aplicar a análise global do sistema.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em \mathrm{t}=5, 10 e 20 minutos depois da imersão

Passo 1

O enunciado dá uma esfera sólida de metal de diâmetro 10\\ \mathrm{cm} inicialmente à temperatura uniforme T_i=230^\circ\mathrm{C}. A esfera é submersa subitamente em um fluido bem agitado à temperatura constante T_\infty=40^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de convecção na superfície é h=220\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}. Os parâmetros do metal fornecidos são \rho=8{,}954\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, C_p=383\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}) e k=400\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}).
As perguntas são:
  1. Verificar se é possível aplicar a análise global (método de capacitância concentrada, “lumped capacitance”).
  2. Se for possível, determinar a temperatura da esfera em t=5, 10 e 20 minutos após a imersão.
Observação: interpretei a densidade como \rho=8{,}954\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (notação típica para metais), porque \rho=8{,}954\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 seria irrealisticamente baixo; esse é o entendimento padrão para problemas assim.

Passo 2

Conceito e critério para usar a análise global (lumped capacitance).
A ideia do método lumped é assumir que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme em todo instante, variando apenas no tempo. Isso é válido quando a resistência térmica interna por condução é muito pequena em comparação com a resistência externa por convecção. O número adimensional que mede isso é o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde h é o coeficiente de convecção, k a condutividade térmica do sólido e L_c o comprimento característico do sólido definido por
L_c=\frac{V}{A},
com V volume e A área de superfície. A regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 a aproximação lumped é aceitável. Aqui vou calcular \mathrm{Bi}.

Passo 3

Cálculo geométrico da esfera e de L_c. Raio:
r=\frac{10\\ \mathrm{cm}}{2}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Área de superfície da esfera:
A=4\pi r^2 = 4\pi (0{,}05)^2 = 4\pi (0{,}0025) = 0{,}01\pi \approx 0{,}0314159\\ \mathrm{m}^2.
Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0{,}05)^3 = \frac{4}{3}\pi (0{,}000125)\approx 0{,}000523599\\ \mathrm{m}^3.
Comprimento característico:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{0{,}000523599}{0{,}0314159}=\frac{r}{3}=0{,}05/3\approx 0{,}0166667\\ \mathrm{m}.
(Mostrei V e A para que você veja de onde vem L_c=r/3 para esfera.)

Passo 4

Cálculo do número de Biot e verificação do critério.
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{220\cdot 0{,}0166667}{400}.
Faço as contas passo a passo:
220\cdot 0{,}0166667\approx 3{,}66667,
\mathrm{Bi}\approx\frac{3{,}66667}{400}\approx 0{,}0091667.
Como \mathrm{Bi}\approx 0{,}00917 \ll 0{,}1, a condição para usar a análise global está claramente satisfeita. Portanto o método lumped é aplicável.

Passo 5

Fórmula de resfriamento para o caso lumped e interpretação das grandezas.
Quando a temperatura do sólido é aproximadamente uniforme no corpo, a variação temporal da temperatura média T(t) é dada por
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\big(-\frac{hA}{\rho V C_p}\,t\big).
Aqui:
  • T(t) é a temperatura média do corpo no tempo t,
  • T_i temperatura inicial ( 230^\circ\mathrm{C}),
  • T_\infty temperatura do fluido ( 40^\circ\mathrm{C}),
  • h coeficiente de convecção,
  • A área da superfície,
  • \rho densidade,
  • V volume,
  • C_p calor específico (capacidade térmica), e
  • o expoente \dfrac{hA}{\rho V C_p} tem dimensão de 1/\mathrm{s} (taxa de decaimento). A constante de tempo é \tau=\dfrac{\rho V C_p}{hA}.
Vou calcular massa, hA, \rho V C_p, a taxa e a constante de tempo.

Passo 6

Cálculo da massa, termo hA e termo \rho V C_p.
Massa da esfera:
m=\rho V = (8{,}954\times10^{3})\cdot 0{,}000523599\\ \mathrm{kg}\approx 4{,}688\\ \mathrm{kg}.
Produto hA:
hA=220\cdot 0{,}0314159\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}\approx 6{,}9115\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Capacidade térmica total do sólido:
m C_p = 4{,}688\cdot 383\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}\approx 1{,}795{,}3\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.
Portanto a taxa de decaimento é
\frac{hA}{\rho V C_p}=\frac{6{,}9115}{1{,}795{,}3}\\ \mathrm{s}^{-1}\approx 0{,}003849\\ \mathrm{s}^{-1}.
E a constante de tempo
\tau=\frac{\rho V C_p}{hA}\approx \frac{1}{0{,}003849}\\ \mathrm{s}\approx 259{,}80\\ \mathrm{s}\approx 4{,}33\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Aplico a fórmula para os instantes pedidos. Vou usar a expressão
T(t)=T_\infty + (T_i-T_\infty)\exp\!\big(-t/\tau\big).
Aqui T_i-T_\infty=230-40=190^\circ\mathrm{C}. Convertendo os tempos desejados para segundos:
5\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s},\quad 10\\ \mathrm{min}=600\\ \mathrm{s},\quad 20\\ \mathrm{min}=1200\\ \mathrm{s}.
Calculo para t=300\\ \mathrm{s}:
\frac{t}{\tau}=\frac{300}{259{,}80}\approx 1{,}1549,\qquad \exp(-1{,}1549)\approx 0{,}3156,
T(300)=40+190\cdot 0{,}3156\approx 40+59{,}96\approx 99{,}96^\circ\mathrm{C}\approx 100{,}0^\circ\mathrm{C}.
Calculo para t=600\\ \mathrm{s}:
\frac{t}{\tau}=\frac{600}{259{,}80}\approx 2{,}3098,\qquad \exp(-2{,}3098)\approx 0{,}0996,
T(600)=40+190\cdot 0{,}0996\approx 40+18{,}92\approx 58{,}92^\circ\mathrm{C}\approx 58{,}9^\circ\mathrm{C}.
Calculo para t=1200\\ \mathrm{s}:
\frac{t}{\tau}=\frac{1200}{259{,}80}\approx 4{,}6196,\qquad \exp(-4{,}6196)\approx 0{,}00986,
T(1200)=40+190\cdot 0{,}00986\approx 40+1{,}87\approx 41{,}87^\circ\mathrm{C}\approx 41{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação rápida: como a constante de tempo \tau\approx 4{,}33 min, em t=5 min estamos pouco além de um \tau (queda para cerca de 31{,}6\% da diferença inicial), em 10 min (≈ 2\tau) a diferença caiu para ≈ 10\% e em 20 min (≈ 4{,}6\tau) a esfera já está muito próxima da temperatura do fluido.

Resposta

T(5\\ \mathrm{min})\approx 100{,}0^\circ\mathrm{C}
T(10\\ \mathrm{min})\approx 58{,}9^\circ\mathrm{C}
T(20\\ \mathrm{min})\approx 41{,}9^\circ\mathrm{C}

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