Uma esfera sólida de metal de 10 cm de diâmetro
, inicialmente a uma temperatura uniforme T
, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a uma temperatura uniforme
. O coeficiente de calor entre a esfera e o fluido é
.
a) Verifique se é possível aplicar a análise global do sistema.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em
, 10 e 20 minutos depois da imersão
a) Verifique se é possível aplicar a análise global do sistema.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em
Passo 1
O enunciado dá uma esfera sólida de metal de diâmetro
inicialmente à temperatura uniforme
. A esfera é submersa subitamente em um fluido bem agitado à temperatura constante
. O coeficiente de convecção na superfície é
. Os parâmetros do metal fornecidos são
,
e
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Verificar se é possível aplicar a análise global (método de capacitância concentrada, “lumped capacitance”).
- Se for possível, determinar a temperatura da esfera em
, e minutos após a imersão.
Observação: interpretei a densidade como
(notação típica para metais), porque
seria irrealisticamente baixo; esse é o entendimento padrão para problemas assim.
Passo 2
Conceito e critério para usar a análise global (lumped capacitance).
A ideia do método lumped é assumir que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme em todo instante, variando apenas no tempo. Isso é válido quando a resistência térmica interna por condução é muito pequena em comparação com a resistência externa por convecção. O número adimensional que mede isso é o número de Biot:
A ideia do método lumped é assumir que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme em todo instante, variando apenas no tempo. Isso é válido quando a resistência térmica interna por condução é muito pequena em comparação com a resistência externa por convecção. O número adimensional que mede isso é o número de Biot:
onde
é o coeficiente de convecção,
a condutividade térmica do sólido e
o comprimento característico do sólido definido por
com
volume e
área de superfície. A regra prática: se
a aproximação lumped é aceitável. Aqui vou calcular
.
Passo 3
Cálculo geométrico da esfera e de
. Raio:
Área de superfície da esfera:
Volume da esfera:
Comprimento característico:
(Mostrei
e
para que você veja de onde vem
para esfera.)
Passo 4
Cálculo do número de Biot e verificação do critério.
Faço as contas passo a passo:
Como
, a condição para usar a análise global está claramente satisfeita. Portanto o método lumped é aplicável.
Passo 5
Fórmula de resfriamento para o caso lumped e interpretação das grandezas.
Quando a temperatura do sólido é aproximadamente uniforme no corpo, a variação temporal da temperatura média é dada por
Quando a temperatura do sólido é aproximadamente uniforme no corpo, a variação temporal da temperatura média
Aqui:
-
é a temperatura média do corpo no tempo , -
temperatura inicial ( ), -
temperatura do fluido ( ), -
coeficiente de convecção, -
área da superfície, -
densidade, -
volume, -
calor específico (capacidade térmica), e - o expoente
tem dimensão de (taxa de decaimento). A constante de tempo é .
Vou calcular massa,
,
, a taxa e a constante de tempo.
Passo 6
Cálculo da massa, termo
e termo
.
Massa da esfera:
Massa da esfera:
Produto
:
Capacidade térmica total do sólido:
Portanto a taxa de decaimento é
E a constante de tempo
Passo 7
Aplico a fórmula para os instantes pedidos. Vou usar a expressão
Aqui
. Convertendo os tempos desejados para segundos:
Calculo para
:
Calculo para
:
Calculo para
:
Passo 8
Interpretação rápida: como a constante de tempo
min, em
min estamos pouco além de um
(queda para cerca de
da diferença inicial), em
min (≈
) a diferença caiu para ≈
e em
min (≈
) a esfera já está muito próxima da temperatura do fluido.