Uma lata de cerveja inicialmente a
é colocada num congelador com ar a
. Quanto tempo leva para resfriar a lata de cerveja para
? Considere as propriedades da cerveja as mesmas da água. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O coeficiente de transferência de calor do ar para a lata foi estimado em
.
Passo 1
O enunciado dá uma lata de cerveja (tomamos as propriedades iguais às da água) inicialmente a
que é colocada num congelador com ar a
. Pergunta: quanto tempo leva para a temperatura do líquido dentro da lata cair para
?\n\nDados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):\n
\n
\n
\n
\n
(coeficiente de convecção ar→lata)\n
Dimensões da lata: altura
e diâmetro
(logo raio
).\n\nO que devemos encontrar: o tempo
até que a temperatura do líquido na lata atinja
.
Passo 2
Primeira coisa a fazer: decidir que método usar para modelar o resfriamento. Para corpos com condução interna e convecção externa existe uma verificação simples chamada número de Biot
. Ele compara a resistência térmica interna (condução dentro do corpo) com a resistência externa (convecção na superfície). A definição é:\n
\nonde
é o coeficiente de convecção,
é a condutividade térmica do material e
é o comprimento característico do corpo, definido como o volume dividido pela área superficial:\n
\nRegra prática: se
a temperatura no interior do corpo pode ser considerada praticamente uniforme durante o transiente e podemos usar o método da capacidade térmica concentrada (método “lumped”, bem mais simples). Se
esse método não é rigorosamente válido e seria necessário um tratamento com condução interna (séries próprias / cartas de Heisler etc.). Vou calcular
e aí decidimos.
Passo 3
Calcular volume
, área superficial
, massa
e
.\n\nVolume do cilindro (lata):\n
\nSubstituindo
e
:
Passo 4
Calcular o número de Biot:\n
\nInterpretação:
, ou seja, é maior que
. Portanto, a aproximação de corpo com temperatura uniforme (método lumped) não é rigorosamente válida — existe alguma queda de temperatura dentro do líquido (ou na parede) que não pode ser desprezada completamente. Entretanto,
não está muito acima de
; para muitas estimativas rápidas de prova o método lumped dá uma boa aproximação e é muito simples de aplicar. O tratamento correto e mais trabalhoso envolveria a solução da equação de difusão para um cilindro com convecção na superfície (serie de autovalores / cartas de Heisler), que é bem mais longo para fazer em prova sem tabelas.\n\nVou então seguir com o método lumped como aproximação razoável para obter um tempo estimado; no final comento sobre a limitação.
Passo 5
Apresentar a fórmula do método lumped (explicando a física):\nQuando o corpo é tratado como de temperatura uniforme, a variação de energia térmica do corpo é igual ao fluxo convectivo pela superfície. Isso leva à equação diferencial linear cuja solução é uma exponencial. A solução para a evolução da temperatura média
do corpo é:\n
\nonde\n
é a temperatura inicial do corpo,\n
é a temperatura do ar do congelador,\n
é o calor específico (por unidade de massa),\n
é a massa do corpo (já calculada),\n
é a condutância convectiva total da superfície.\n\nIsolando o tempo
:
Passo 6
Aplicar a fórmula aos números do problema. Temperaturas:
,
, queremos
. Então a fração é:\n
\nAgora calcular o fator prefatorial (a constante de tempo inversa): primeiro o denominador
e o numerador
:
Passo 7
Calcular os valores numéricos finais:\n
(constante de tempo aproximada), e
Passo 8
Resumo físico e comentário sobre validade: obtivemos que, usando a aproximação de temperatura uniforme (método lumped), o tempo para a lata cair de
para
é cerca de
horas. Lembrete importante: como o número de Biot calculado ficou em torno de
(um pouco maior que
), a resposta é uma estimativa; o valor exato requer solução da equação de difusão para o cilindro com condição de convecção na superfície (série com autovalores, cartas de Heisler) e provavelmente daria um tempo um pouco diferente. Na prática esta estimativa é útil para ordem de grandeza e para provas, a não ser que a questão peça explicitamente tratamento não-uniforme.