Uma lata de cerveja inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C} é colocada num congelador com ar a 0^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo leva para resfriar a lata de cerveja para 7^{\circ} \mathrm{C} ? Considere as propriedades da cerveja as mesmas da água. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O coeficiente de transferência de calor do ar para a lata foi estimado em 4,73 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}.
\begin{aligned} & \mathrm{k}=0,5723 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} \\\ & \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \\\ & \mathrm{C}=4203 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} \\\ & \alpha=1,32 \cdot 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma lata de cerveja (tomamos as propriedades iguais às da água) inicialmente a 20^{\circ}\mathrm{C} que é colocada num congelador com ar a 0^{\circ}\mathrm{C}. Pergunta: quanto tempo leva para a temperatura do líquido dentro da lata cair para 7^{\circ}\mathrm{C} ?\n\nDados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):\n \,\, \,k=0{,}5723\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{\circ}\mathrm{C}\n \,\, \,\rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\n \,\, \,C=4203\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}^{\circ}\mathrm{C}\n \,\, \,\alpha=1{,}32\cdot10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}\n \,\, \,h_c=4{,}73\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ}\mathrm{C} (coeficiente de convecção ar→lata)\n \,\, \,Dimensões da lata: altura H=0{,}20\\ \mathrm{m} e diâmetro D=0{,}07\\ \mathrm{m} (logo raio r=0{,}035\\ \mathrm{m}).\n\nO que devemos encontrar: o tempo t até que a temperatura do líquido na lata atinja 7^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Primeira coisa a fazer: decidir que método usar para modelar o resfriamento. Para corpos com condução interna e convecção externa existe uma verificação simples chamada número de Biot Bi. Ele compara a resistência térmica interna (condução dentro do corpo) com a resistência externa (convecção na superfície). A definição é:\n \displaystyle Bi=\frac{h_c L_c}{k}\nonde h_c é o coeficiente de convecção, k é a condutividade térmica do material e L_c é o comprimento característico do corpo, definido como o volume dividido pela área superficial:\n \displaystyle L_c=\frac{V}{A}.\nRegra prática: se Bi<0{,}1 a temperatura no interior do corpo pode ser considerada praticamente uniforme durante o transiente e podemos usar o método da capacidade térmica concentrada (método “lumped”, bem mais simples). Se Bi>0{,}1 esse método não é rigorosamente válido e seria necessário um tratamento com condução interna (séries próprias / cartas de Heisler etc.). Vou calcular Bi e aí decidimos.

Passo 3

Calcular volume V, área superficial A, massa m e L_c.\n\nVolume do cilindro (lata):\n \displaystyle V=\pi r^{2}H.\nSubstituindo r=0{,}035\\ \mathrm{m} e H=0{,}20\\ \mathrm{m}:
\displaystyle V=\pi(0{,}035)^{2}(0{,}20)=0{,}00076969\\ \mathrm{m}^{3}.\n\nMassa do líquido (assumindo água):\n \displaystyle m=\rho V=1000\cdot 0{,}00076969=0{,}76969\\ \mathrm{kg}.\n\nÁrea superficial da lata (lateral + tampas):\n \displaystyle A=2\pi r H + 2\pi r^{2}.\nCalculemos:\n \displaystyle 2\pi r H=2\pi(0{,}035)(0{,}20)=0{,}0439823\\ \mathrm{m}^{2},\n \displaystyle 2\pi r^{2}=2\pi(0{,}035)^{2}=0{,}0076969\\ \mathrm{m}^{2}.\n \displaystyle A=0{,}0439823+0{,}0076969=0{,}0516792\\ \mathrm{m}^{2}.\n\nComprimento característico:\n \displaystyle L_c=\frac{V}{A}=\frac{0{,}00076969}{0{,}0516792}=0{,}014895\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o número de Biot:\n \displaystyle Bi=\frac{h_c L_c}{k}=\frac{4{,}73\cdot 0{,}014895}{0{,}5723}=0{,}1232\\ (\text{adimensional}).\nInterpretação: Bi\approx0{,}12, ou seja, é maior que 0{,}1. Portanto, a aproximação de corpo com temperatura uniforme (método lumped) não é rigorosamente válida — existe alguma queda de temperatura dentro do líquido (ou na parede) que não pode ser desprezada completamente. Entretanto, Bi não está muito acima de 0{,}1; para muitas estimativas rápidas de prova o método lumped dá uma boa aproximação e é muito simples de aplicar. O tratamento correto e mais trabalhoso envolveria a solução da equação de difusão para um cilindro com convecção na superfície (serie de autovalores / cartas de Heisler), que é bem mais longo para fazer em prova sem tabelas.\n\nVou então seguir com o método lumped como aproximação razoável para obter um tempo estimado; no final comento sobre a limitação.

Passo 5

Apresentar a fórmula do método lumped (explicando a física):\nQuando o corpo é tratado como de temperatura uniforme, a variação de energia térmica do corpo é igual ao fluxo convectivo pela superfície. Isso leva à equação diferencial linear cuja solução é uma exponencial. A solução para a evolução da temperatura média T(t) do corpo é:\n \displaystyle \frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\Big(-\frac{h_c A}{\rho V C}\,t\Big),\nonde\n \,T_{i} é a temperatura inicial do corpo,\n \,T_{\infty} é a temperatura do ar do congelador,\n \,C é o calor específico (por unidade de massa),\n \,\rho V é a massa do corpo (já calculada),\n \,h_c A é a condutância convectiva total da superfície.\n\nIsolando o tempo t:
\displaystyle t=-\frac{\rho V C}{h_c A}\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right).

Passo 6

Aplicar a fórmula aos números do problema. Temperaturas: T_i=20^{\circ}\mathrm{C}, T_{\infty}=0^{\circ}\mathrm{C}, queremos T(t)=7^{\circ}\mathrm{C}. Então a fração é:\n \displaystyle \frac{T(t)-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}}=\frac{7-0}{20-0}=\frac{7}{20}=0{,}35.\nAgora calcular o fator prefatorial (a constante de tempo inversa): primeiro o denominador h_c A e o numerador \rho V C:
\displaystyle h_c A=4{,}73\cdot 0{,}0516792=0{,}244436\\ \mathrm{W}/^{\circ}\mathrm{C}.\n \displaystyle \rho V C=(1000)(0{,}00076969)(4203)=3232{,}85\\ \mathrm{J}/^{\circ}\mathrm{C}.\nTempo:
\displaystyle t=-\frac{3232{,}85}{0{,}244436}\ln(0{,}35).

Passo 7

Calcular os valores numéricos finais:\n \displaystyle \tau=\frac{\rho V C}{h_c A}=\frac{3232{,}85}{0{,}244436}=13231\\ \mathrm{s} (constante de tempo aproximada), e
\displaystyle \ln(0{,}35)=-1{,}049822.\n \displaystyle t=13231\times 1{,}049822=13891\\ \mathrm{s}.\nConverter para unidades mais amigáveis:\n \displaystyle 13891\\ \mathrm{s}\approx 231{,}5\\ \mathrm{min}\approx 3{,}86\\ \mathrm{h},\nou seja aproximadamente 3\\ \mathrm{h}\\\ 51\\ \mathrm{min}\\\ 30\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resumo físico e comentário sobre validade: obtivemos que, usando a aproximação de temperatura uniforme (método lumped), o tempo para a lata cair de 20^{\circ}\mathrm{C} para 7^{\circ}\mathrm{C} é cerca de 3{,}86 horas. Lembrete importante: como o número de Biot calculado ficou em torno de 0{,}12 (um pouco maior que 0{,}1), a resposta é uma estimativa; o valor exato requer solução da equação de difusão para o cilindro com condição de convecção na superfície (série com autovalores, cartas de Heisler) e provavelmente daria um tempo um pouco diferente. Na prática esta estimativa é útil para ordem de grandeza e para provas, a não ser que a questão peça explicitamente tratamento não-uniforme.

Resposta

t\approx 1{,}3891\times 10^{4}\\ \mathrm{s}\approx 3{,}86\\ \mathrm{h} (aproximadamente 3\\ \mathrm{h}\\\ 51\\ \mathrm{min}).

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