(Modificado de Prova da Petrobrás - Químico de Petróleo Júnior - 2011 - Cesgranrio) Uma tubulação horizontal para transporte de fluido é provida de uma “placa de orificio”. Suponha escoamento de fluido ideal, incompressível e em regime permanente. Se a queda de pressão através do dispositivo é \Delta \mathrm{P}, a vazão volumétrica do fluido é proporcional a
Escolha uma opção:
◯ A.
(\Delta \mathrm{P})^{2 / 3}
◯ B.
(\Delta \mathrm{P})^{2}
◯ C
(\Delta \mathrm{P})^{1 / 2}
◯ D.
(\Delta \mathrm{P})^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação horizontal com uma “placa de orifício” e pede: qual é a proporcionalidade entre a vazão volumétrica e a queda de pressão através do orifício. Informações relevantes fornecidas:
  • Escoamento de fluido ideal (isto é, sem viscosidade), incompressível e em regime permanente.
  • Queda de pressão através do dispositivo é \Delta P (diferença entre a pressão antes e depois do orifício).
  • Queremos saber como a vazão volumétrica Q depende de \Delta P (entre as opções dadas).

Passo 2

Vamos usar a equação de Bernoulli, que vale para escoamento ideal, incompressível e em regime permanente ao longo de uma mesma linha de corrente. A equação de Bernoulli escrita entre dois pontos quaisquer é
P+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z=\text{constante},
onde:
  • P é a pressão do fluido no ponto considerado,
  • \rho é a densidade do fluido (constante, pois incompressível),
  • v é a velocidade do fluido no ponto,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • z é a cota vertical do ponto.
    Explicação intuitiva: P representa energia por unidade de volume associada à pressão; \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a energia cinética por unidade de volume; \rho g z é a energia potencial por unidade de volume. Em escoamento sem perdas, a soma dessas três energias é constante ao longo da corrente.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre um ponto antes do orifício (ponto 1, secção ampla do tubo) e o jato que sai pelo orifício (ponto 2, velocidade maior). Como o tubo é horizontal, z_1=z_2 e os termos \rho g z cancelam. A equação fica
P_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2}=P_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
Em muitos problemas de orifício assume-se que a secção antes do orifício é muito maior que a do jato, então v_1\approx 0. Definindo \Delta P=P_1-P_2, obtemos
\Delta P=\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.

Passo 4

Isolando a velocidade do jato v_2,
v_2=\sqrt{\dfrac{2\Delta P}{\rho}}.
Agora relacionamos vazão volumétrica Q com velocidade: a vazão que passa pelo orifício é a área efetiva do orifício A vezes a velocidade do jato:
Q=A\,v_2.
Substituindo v_2,
Q=A\sqrt{\dfrac{2\Delta P}{\rho}}.
Como A e \rho são constantes para o problema dado, concluímos a proporcionalidade
Q\propto\sqrt{\Delta P}=\bigl(\Delta P\bigr)^{1/2}.

Passo 5

Resumo e justificativa do método: escolhemos usar Bernoulli porque o enunciado explícita as hipóteses que tornam Bernoulli aplicável (fluido ideal, incompressível, regime permanente). As respostas com expoentes diferentes ( 2/3,2,3/2) não aparecem aqui porque pertencem a outros regimes ou modelos (por exemplo, escoamentos com perdas viscosas complexas ou regimes não lineares), mas sob as hipóteses dadas a dependência é de raiz quadrada. Um lembrete prático para prova: se você ver “ideal, incompressível, sem perdas” pensa logo em Bernoulli e em \Delta P\sim\tfrac{1}{2}\rho v^{2}, daí v\sim(\Delta P)^{1/2} e Q\sim v\sim(\Delta P)^{1/2}. Um exemplo numérico rápido: se \Delta P aumenta 4 vezes, Q dobra (porque \sqrt{4}=2) — é um ótimo jeito de checar se o expoente está coerente.

Resposta

C
(\Delta P)^{1/2}

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