(Modificado de Prova da Petrobrás - Químico de Petróleo Júnior - 2011 - Cesgranrio) Uma tubulação horizontal para transporte de fluido é provida de uma “placa de orificio”. Suponha escoamento de fluido ideal, incompressível e em regime permanente. Se a queda de pressão através do dispositivo é
, a vazão volumétrica do fluido é proporcional a
Escolha uma opção:
◯ A.
◯ B.
◯ C
◯ D.
◯ A.
◯ B.
◯ C
◯ D.
Passo 1
O enunciado dá uma tubulação horizontal com uma “placa de orifício” e pede: qual é a proporcionalidade entre a vazão volumétrica e a queda de pressão através do orifício. Informações relevantes fornecidas:
- Escoamento de fluido ideal (isto é, sem viscosidade), incompressível e em regime permanente.
- Queda de pressão através do dispositivo é
(diferença entre a pressão antes e depois do orifício). - Queremos saber como a vazão volumétrica
depende de (entre as opções dadas).
Passo 2
Vamos usar a equação de Bernoulli, que vale para escoamento ideal, incompressível e em regime permanente ao longo de uma mesma linha de corrente. A equação de Bernoulli escrita entre dois pontos quaisquer é
onde:
-
é a pressão do fluido no ponto considerado, -
é a densidade do fluido (constante, pois incompressível), -
é a velocidade do fluido no ponto, -
é a aceleração da gravidade, -
é a cota vertical do ponto.
Explicação intuitiva:representa energia por unidade de volume associada à pressão; é a energia cinética por unidade de volume; é a energia potencial por unidade de volume. Em escoamento sem perdas, a soma dessas três energias é constante ao longo da corrente.
Passo 3
Aplicamos Bernoulli entre um ponto antes do orifício (ponto 1, secção ampla do tubo) e o jato que sai pelo orifício (ponto 2, velocidade maior). Como o tubo é horizontal,
e os termos
cancelam. A equação fica
Em muitos problemas de orifício assume-se que a secção antes do orifício é muito maior que a do jato, então
. Definindo
, obtemos
Passo 4
Isolando a velocidade do jato
,
Agora relacionamos vazão volumétrica
com velocidade: a vazão que passa pelo orifício é a área efetiva do orifício
vezes a velocidade do jato:
Substituindo
,
Como
e
são constantes para o problema dado, concluímos a proporcionalidade
Passo 5
Resumo e justificativa do método: escolhemos usar Bernoulli porque o enunciado explícita as hipóteses que tornam Bernoulli aplicável (fluido ideal, incompressível, regime permanente). As respostas com expoentes diferentes (
) não aparecem aqui porque pertencem a outros regimes ou modelos (por exemplo, escoamentos com perdas viscosas complexas ou regimes não lineares), mas sob as hipóteses dadas a dependência é de raiz quadrada. Um lembrete prático para prova: se você ver “ideal, incompressível, sem perdas” pensa logo em Bernoulli e em
, daí
e
. Um exemplo numérico rápido: se
aumenta 4 vezes,
dobra (porque
) — é um ótimo jeito de checar se o expoente está coerente.
Resposta
C