Uma esfera sólida não condutora de raio R tem carga total Q que é distribuído de acordo com \rho(r)=\alpha r, onde \rho é a carga por unidade de volume \left(C / m^{3}\right) e \alpha é uma constante. (a) Determine \alpha em termos da carga Q. Quais são as unidades de \alpha no sistema internacional? (b) Determine o campo elétrico para pontos fora da esfera ( r>R ). (c) Determine o campo elétrico para pontos dentro da esfera (r<R). (d) Esboce uma figura do módulo do campo elétrico como função de r.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e perguntas:
Informações fornecidas:
Esfera sólida não condutora com raio R.
Densidade volumétrica de carga dependente do raio: \rho(r)=\alpha r, onde \rho tem unidades de carga por volume.
Carga total da esfera: Q.
O que se pede:
(a) Determinar \alpha em termos de Q. Indicar as unidades de \alpha no SI.
(b) Determinar o campo elétrico para pontos fora da esfera (r>R).
(c) Determinar o campo elétrico para pontos dentro da esfera (r<R).
(d) Esboçar (descrever) o módulo do campo elétrico E em função de r.
Vou começar resolvendo (a) e depois passo para os campos, explicando tudo passo a passo.
Passo 2
Determinar \alpha usando a relação entre densidade e carga total.
Explicação/conceito usado (passo a passo): a carga total Q é a integral da densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera. Num objeto com simetria esférica, o elemento de volume em coordenadas esféricas (só em função de r) é \mathrm{d}V = 4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r. Isso vem de pensar em uma casca esférica de raio r e espessura \mathrm{d}r: sua área é 4\pi r^{2} e seu volume é 4\pi r^{2}\mathrm{d}r.
Agora as unidades: como \rho(r) tem unidades de \mathrm{C\,m^{-3}} e \rho(r)=\alpha r tem dimensão de \alpha vezes metro, segue que \alpha tem unidades de \mathrm{C\,m^{-4}}. Em notação TeX:
\text{unidades de }\alpha:\\ \mathrm{C\,m^{-4}}.
Passo 3
Campo elétrico para r>R (fora da esfera).
Ideia/ferramenta usada: quando a distribuição de carga é esfericamente simétrica, um teorema prático (aplicação da Lei de Gauss) diz que o campo elétrico numa superfície esférica de raio r>R é o mesmo que se toda a carga total Q estivesse concentrada no centro. Vou aplicar a forma simples resultante dessa ideia.
Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r com r>R. Pelo resultado da simetria, o campo tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície: \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. A Lei de Gauss na forma integral é
Comentário físico curto: isso é idêntico ao campo de uma carga puntiforme Q no centro.
Passo 4
Campo elétrico para r<R (dentro da esfera).
Primeiro: para aplicar a Lei de Gauss devemos saber a carga contida pela superfície gaussiana de raio r<R. Então calculamos a carga encerrada Q_{\text{enc}}(r) integrando a densidade até o raio r:
Comentário intuitivo: dentro da esfera o campo cresce com r^{2} (porque a carga encerrada cresce como r^{4} para essa densidade), em contraste com distribuições homogêneas (onde E\propto r). Em r=0 temos E=0. Em r=R as expressões interna e externa coincidem:
Esboço/descrição do gráfico de |E| em função de r e comportamento:
Para 0\le r\le R: |E(r)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q\,r^{2}}{R^{4}}. Ou seja, |E| aumenta com r^{2}, começando em 0 no centro.
Em r=R: |E(R)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}} (valor máximo).
Para r\ge R: |E(r)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}. Ou seja, fora da esfera o campo decai como 1/r^{2}.
Descrição do esboço (como desenhar na prova): comece em r=0 com |E|=0, faça uma curva que cresce com formato de parábola em r^{2} até r=R, atinge o valor \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}} e depois decai com uma hipérbole 1/r^{2}. A curva é contínua em r=R.