Uma esfera sólida não condutora de raio R tem carga total Q que é distribuído de acordo com \rho(r)=\alpha r, onde \rho é a carga por unidade de volume \left(C / m^{3}\right) e \alpha é uma constante. (a) Determine \alpha em termos da carga Q. Quais são as unidades de \alpha no sistema internacional? (b) Determine o campo elétrico para pontos fora da esfera ( r>R ). (c) Determine o campo elétrico para pontos dentro da esfera (r<R). (d) Esboce uma figura do módulo do campo elétrico como função de r.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • Esfera sólida não condutora com raio R.
    • Densidade volumétrica de carga dependente do raio: \rho(r)=\alpha r, onde \rho tem unidades de carga por volume.
    • Carga total da esfera: Q.
  • O que se pede:
    • (a) Determinar \alpha em termos de Q. Indicar as unidades de \alpha no SI.
    • (b) Determinar o campo elétrico para pontos fora da esfera ( r>R).
    • (c) Determinar o campo elétrico para pontos dentro da esfera ( r<R).
    • (d) Esboçar (descrever) o módulo do campo elétrico E em função de r.
Vou começar resolvendo (a) e depois passo para os campos, explicando tudo passo a passo.

Passo 2

Determinar \alpha usando a relação entre densidade e carga total.
Explicação/conceito usado (passo a passo): a carga total Q é a integral da densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera. Num objeto com simetria esférica, o elemento de volume em coordenadas esféricas (só em função de r) é \mathrm{d}V = 4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r. Isso vem de pensar em uma casca esférica de raio r e espessura \mathrm{d}r: sua área é 4\pi r^{2} e seu volume é 4\pi r^{2}\mathrm{d}r.
Logo a carga total é
Q=\int_{\text{volume}}\rho(r)\,\mathrm{d}V=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r.
Substituindo \rho(r)=\alpha r fica
Q=\int_{0}^{R} \alpha r \cdot 4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r
Q=4\pi\alpha\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
Portanto
Q=4\pi\alpha\cdot\frac{R^{4}}{4}=\pi\alpha R^{4}.
Isolando \alpha:
\alpha=\frac{Q}{\pi R^{4}}.
Agora as unidades: como \rho(r) tem unidades de \mathrm{C\,m^{-3}} e \rho(r)=\alpha r tem dimensão de \alpha vezes metro, segue que \alpha tem unidades de \mathrm{C\,m^{-4}}. Em notação TeX:
\text{unidades de }\alpha:\\ \mathrm{C\,m^{-4}}.

Passo 3

Campo elétrico para r>R (fora da esfera).
Ideia/ferramenta usada: quando a distribuição de carga é esfericamente simétrica, um teorema prático (aplicação da Lei de Gauss) diz que o campo elétrico numa superfície esférica de raio r>R é o mesmo que se toda a carga total Q estivesse concentrada no centro. Vou aplicar a forma simples resultante dessa ideia.
Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r com r>R. Pelo resultado da simetria, o campo tem direção radial e mesmo módulo em toda a superfície: \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. A Lei de Gauss na forma integral é
\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui Q_{\text{enc}}=Q para r>R, e a integral do lado esquerdo é E(r)\cdot 4\pi r^{2}. Assim
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}.
Direção radial (vetorialmente):
\vec{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{r}\qquad\text{para }r>R.
Comentário físico curto: isso é idêntico ao campo de uma carga puntiforme Q no centro.

Passo 4

Campo elétrico para r<R (dentro da esfera).
Primeiro: para aplicar a Lei de Gauss devemos saber a carga contida pela superfície gaussiana de raio r<R. Então calculamos a carga encerrada Q_{\text{enc}}(r) integrando a densidade até o raio r:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,\mathrm{d}r'=\int_{0}^{r}\alpha r'\cdot 4\pi r'^{2}\,\mathrm{d}r'=4\pi\alpha\int_{0}^{r} r'^{3}\,\mathrm{d}r'.
Calcule a integral:
\int_{0}^{r} r'^{3}\,\mathrm{d}r'=\frac{r^{4}}{4},
logo
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\alpha\cdot\frac{r^{4}}{4}=\pi\alpha r^{4}.
Substitua \alpha obtido no Passo 2, \alpha=\dfrac{Q}{\pi R^{4}}:
Q_{\text{enc}}(r)=\pi\left(\frac{Q}{\pi R^{4}}\right)r^{4}=Q\frac{r^{4}}{R^{4}}.
Agora aplique a Lei de Gauss para a superfície esférica de raio r (a mesma forma do passo anterior):
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\frac{r^{4}}{R^{4}}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\frac{r^{4}}{R^{4}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r^{2}}{R^{4}}.
Direção radial:
\vec{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r^{2}}{R^{4}}\,\hat{r}\qquad\text{para }r<R.
Comentário intuitivo: dentro da esfera o campo cresce com r^{2} (porque a carga encerrada cresce como r^{4} para essa densidade), em contraste com distribuições homogêneas (onde E\propto r). Em r=0 temos E=0. Em r=R as expressões interna e externa coincidem:
E(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{2}},
garantindo continuidade.

Passo 5

Esboço/descrição do gráfico de |E| em função de r e comportamento:
  • Para 0\le r\le R: |E(r)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q\,r^{2}}{R^{4}}. Ou seja, |E| aumenta com r^{2}, começando em 0 no centro.
  • Em r=R: |E(R)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}} (valor máximo).
  • Para r\ge R: |E(r)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}. Ou seja, fora da esfera o campo decai como 1/r^{2}.
Descrição do esboço (como desenhar na prova): comece em r=0 com |E|=0, faça uma curva que cresce com formato de parábola em r^{2} até r=R, atinge o valor \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}} e depois decai com uma hipérbole 1/r^{2}. A curva é contínua em r=R.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha=\frac{Q}{\pi R^{4}}. Unidades: \mathrm{C\,m^{-4}}.
(b) \displaystyle \vec{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{r}\quad\text{para }r>R.
(c) \displaystyle \vec{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r^{2}}{R^{4}}\,\hat{r}\quad\text{para }r<R.
(d) |E(r)| cresce como r^{2} para 0\le r\le R, atinge |E(R)|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{2}} em r=R, e decai como 1/r^{2} para r\ge R.

Exercícios relacionados