Nota: Adote a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Uma cunha triangular de massa M e ângulo de inclinação \theta repousa sobre uma superfície horizontal idealmente lisa (sem atrito). Um pequeno bloco de massa m é colocado sobre o plano inclinado da cunha (também sem atrito). Qual deve ser o módulo e o sentido da aceleração horizontal ( A ) aplicada externamente à cunha para que o pequeno bloco m permaneça em repouso estacionário em relação a ela?
a) A=g \sin \theta
b) A=g \cos \theta
c) A=g \tan \theta
d) A=\frac{g}{\tan \theta}
e) A=g \mu_{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Cunha triangular de massa M com plano inclinado que forma um ângulo \theta com a horizontal.
  • A cunha repousa sobre superfície horizontal sem atrito.
  • Um bloco de massa m é colocado sobre o plano inclinado (sem atrito entre bloco e cunha).
  • Foi aplicada uma aceleração horizontal externa de módulo A à cunha — a tarefa é achar o módulo e o sentido de A para que o bloco permaneça em repouso relativo à cunha (isto é, não deslize sobre o plano).
  • Constante gravitacional dada: g=10\\ \mathrm{m/s^2} (usaremos g simbolicamente, o valor numérico pode ser substituído).
O que se pede:
  • Encontrar o valor do módulo de A.
  • Determinar o sentido (direção) dessa aceleração horizontal.

Passo 2

Idéia física e escolha de referencial: é conveniente trabalhar no referencial não inercial que se move com a cunha (ou seja, o referencial acelerado da cunha). Nesse referencial aparece uma força inercial (força pseudo) atuando sobre o bloco de módulo mA e sentido oposto à aceleração da cunha. Se a soma das forças reais mais a força pseudo sobre o bloco for nula, o bloco ficará em equilíbrio nesse referencial e assim ficará em repouso relativo à cunha. Vou explicar essa ideia com calma.
O que são as forças que atuam no bloco (no referencial da cunha):
  • Peso: \vec{P}=m\vec{g}, vertical para baixo, módulo mg.
  • Força normal do plano sobre o bloco: \vec{N}, perpendicular ao plano, sem atrito.
  • Força pseudo (inercial), devido à aceleração da cunha: \vec{F}_{\text{pseudo}} = -m\vec{A} (módulo mA, direção horizontal, sentido oposto ao vetor \vec{A} da aceleração aplicada).
Para que o bloco não deslize, a soma vetorial dessas três forças deve ser zero:
\vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{\text{pseudo}} = \vec{0}.

Passo 3

Escolha de orientação e análise geométrica (muito importante para não se confundir):
  • Vou adotar como positivo ao longo do plano a direção para cima do plano (do ponto mais baixo em direção ao topo).
  • Sem perda de generalidade imagine a cunha com o topo (lado alto) à direita e o pé (lado baixo) à esquerda — desenho mental típico. Nesse caso a direção “para cima do plano” tem componente horizontal para a direita e componente vertical para cima.
  • O bloco tende, por seu peso, a deslizar para baixo do plano (isto é, na direção oposta a “para cima do plano”). Para anular esse deslizamento precisamos de uma componente de força que atue para cima do plano. Essa componente pode vir da força pseudo se ela tiver a projeção adequada.
Qual sentido de \vec{A} gera a força pseudo com componente para cima do plano?
  • Se a cunha é acelerada para a esquerda, então \vec{F}_{\text{pseudo}} sobre o bloco aponta para a direita (oposto a \vec{A}). Uma força horizontal para a direita tem uma projeção positiva na direção “para cima do plano” (porque “para cima do plano” aponta para a direita e para cima). Logo, para equilibrar o peso ao longo do plano precisamos que a cunha seja acelerada para a esquerda, de modo que a força pseudo aponte para a direita e empurre o bloco para cima do plano. Portanto o sentido de \vec{A} será para a esquerda (se a cunha tem o topo à direita, como assumido).
  • Em resumo: a cunha deve ser acelerada horizontalmente para o lado oposto ao topo do plano (isto é, em direção ao pé da cunha), de modo que a força pseudo aponte em direção ao topo do plano.
Agora vamos traduzir isso em contas.

Passo 4

Decomposição das forças ao longo de dois eixos convenientes:
  • Eixo 1: eixo paralelo ao plano, sentido para cima do plano.
  • Eixo 2: eixo perpendicular ao plano, sentido para fora do plano.
Componentes do peso m\vec{g}:
  • Componente ao longo do plano (para baixo do plano): \;m g\sin\theta (direção contrária ao eixo positivo ao longo do plano).
  • Componente perpendicular (empurrando ao plano): \;m g\cos\theta (direção para dentro do plano).
Componentes da força pseudo quando a cunha é acelerada para a esquerda:
  • Força pseudo tem módulo mA e aponta para a direita (horizontal). Projeção dessa força ao longo do eixo paralelo ao plano (para cima do plano) é
\text{(pseudo ao longo do plano)} = mA\cos\theta,
pois a componente de uma força horizontal na direção do eixo inclinado faz \cos\theta (o eixo paralelo ao plano forma ângulo \theta com a horizontal).
  • Projeção da pseudo no eixo perpendicular ao plano é \;mA\sin\theta (para fora ou para dentro dependendo do sinal; veremos o equilíbrio perpendicular).

Passo 5

Equilíbrio ao longo do plano (condição necessária para o bloco não deslizar):
A soma das projeções das forças ao longo do plano deve ser zero. Usando sinalização consistente (positiva para cima do plano):
  • Peso contribui com -m g\sin\theta.
  • Pseudo contribui com +m A\cos\theta (pois aponta para cima do plano).
  • Não há atrito, e a normal não tem componente ao longo do plano.
Assim:
mA\cos\theta - mg\sin\theta = 0.

Passo 6

Resolver a equação para A. Cancelando m (não nulo) e isolando A:
A\cos\theta = g\sin\theta \quad\Rightarrow\quad A = g\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = g\tan\theta.
Portanto o módulo de A é g\tan\theta.

Passo 7

Comentário adicional (verificação usando a componente perpendicular):
  • Somando as componentes perpendiculares obtemos a normal:
N = m g\cos\theta + m A\sin\theta.
Substituindo A=g\tan\theta
N = m g\cos\theta + m (g\tan\theta)\sin\theta = m g\cos\theta + m g\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = m g\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta} = \frac{m g}{\cos\theta},
que é finito e positivo, consistente com equilíbrio (apenas checagem).

Resposta

A = g\tan\theta
Sentido: horizontal, direcionada para o lado oposto ao topo do plano (isto é, se o topo estiver à direita, A aponta para a esquerda).

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