Nota: Adote a aceleração da gravidade
.
Uma cunha triangular de massa
e ângulo de inclinação
repousa sobre uma superfície horizontal idealmente lisa (sem atrito). Um pequeno bloco de massa
é colocado sobre o plano inclinado da cunha (também sem atrito). Qual deve ser o módulo e o sentido da aceleração horizontal (
) aplicada externamente à cunha para que o pequeno bloco
permaneça em repouso estacionário em relação a ela?
a)
b)
c)
d)
e)
Uma cunha triangular de massa
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Cunha triangular de massa
com plano inclinado que forma um ângulo com a horizontal. - A cunha repousa sobre superfície horizontal sem atrito.
- Um bloco de massa
é colocado sobre o plano inclinado (sem atrito entre bloco e cunha). - Foi aplicada uma aceleração horizontal externa de módulo
à cunha — a tarefa é achar o módulo e o sentido de para que o bloco permaneça em repouso relativo à cunha (isto é, não deslize sobre o plano). - Constante gravitacional dada:
(usaremos simbolicamente, o valor numérico pode ser substituído).
O que se pede:
- Encontrar o valor do módulo de
. - Determinar o sentido (direção) dessa aceleração horizontal.
Passo 2
Idéia física e escolha de referencial: é conveniente trabalhar no referencial não inercial que se move com a cunha (ou seja, o referencial acelerado da cunha). Nesse referencial aparece uma força inercial (força pseudo) atuando sobre o bloco de módulo
e sentido oposto à aceleração da cunha. Se a soma das forças reais mais a força pseudo sobre o bloco for nula, o bloco ficará em equilíbrio nesse referencial e assim ficará em repouso relativo à cunha. Vou explicar essa ideia com calma.
O que são as forças que atuam no bloco (no referencial da cunha):
- Peso:
, vertical para baixo, módulo . - Força normal do plano sobre o bloco:
, perpendicular ao plano, sem atrito. - Força pseudo (inercial), devido à aceleração da cunha:
(módulo , direção horizontal, sentido oposto ao vetor da aceleração aplicada).
Para que o bloco não deslize, a soma vetorial dessas três forças deve ser zero:
Passo 3
Escolha de orientação e análise geométrica (muito importante para não se confundir):
- Vou adotar como positivo ao longo do plano a direção para cima do plano (do ponto mais baixo em direção ao topo).
- Sem perda de generalidade imagine a cunha com o topo (lado alto) à direita e o pé (lado baixo) à esquerda — desenho mental típico. Nesse caso a direção “para cima do plano” tem componente horizontal para a direita e componente vertical para cima.
- O bloco tende, por seu peso, a deslizar para baixo do plano (isto é, na direção oposta a “para cima do plano”). Para anular esse deslizamento precisamos de uma componente de força que atue para cima do plano. Essa componente pode vir da força pseudo se ela tiver a projeção adequada.
Qual sentido de
gera a força pseudo com componente para cima do plano?
- Se a cunha é acelerada para a esquerda, então
sobre o bloco aponta para a direita (oposto a ). Uma força horizontal para a direita tem uma projeção positiva na direção “para cima do plano” (porque “para cima do plano” aponta para a direita e para cima). Logo, para equilibrar o peso ao longo do plano precisamos que a cunha seja acelerada para a esquerda, de modo que a força pseudo aponte para a direita e empurre o bloco para cima do plano. Portanto o sentido de será para a esquerda (se a cunha tem o topo à direita, como assumido). - Em resumo: a cunha deve ser acelerada horizontalmente para o lado oposto ao topo do plano (isto é, em direção ao pé da cunha), de modo que a força pseudo aponte em direção ao topo do plano.
Agora vamos traduzir isso em contas.
Passo 4
Decomposição das forças ao longo de dois eixos convenientes:
- Eixo 1: eixo paralelo ao plano, sentido para cima do plano.
- Eixo 2: eixo perpendicular ao plano, sentido para fora do plano.
Componentes do peso
:
- Componente ao longo do plano (para baixo do plano):
(direção contrária ao eixo positivo ao longo do plano). - Componente perpendicular (empurrando ao plano):
(direção para dentro do plano).
Componentes da força pseudo quando a cunha é acelerada para a esquerda:
- Força pseudo tem módulo
e aponta para a direita (horizontal). Projeção dessa força ao longo do eixo paralelo ao plano (para cima do plano) é
pois a componente de uma força horizontal na direção do eixo inclinado faz
(o eixo paralelo ao plano forma ângulo
com a horizontal).
- Projeção da pseudo no eixo perpendicular ao plano é
(para fora ou para dentro dependendo do sinal; veremos o equilíbrio perpendicular).
Passo 5
Equilíbrio ao longo do plano (condição necessária para o bloco não deslizar):
A soma das projeções das forças ao longo do plano deve ser zero. Usando sinalização consistente (positiva para cima do plano):
A soma das projeções das forças ao longo do plano deve ser zero. Usando sinalização consistente (positiva para cima do plano):
- Peso contribui com
. - Pseudo contribui com
(pois aponta para cima do plano). - Não há atrito, e a normal não tem componente ao longo do plano.
Assim:
Passo 6
Resolver a equação para
. Cancelando
(não nulo) e isolando
:
Portanto o módulo de
é
.
Passo 7
Comentário adicional (verificação usando a componente perpendicular):
- Somando as componentes perpendiculares obtemos a normal:
Substituindo
dá
que é finito e positivo, consistente com equilíbrio (apenas checagem).
Resposta
Sentido: horizontal, direcionada para o lado oposto ao topo do plano (isto é, se o topo estiver à direita,