Um cilindro de raio R=0,5 \mathrm{~m} e altura h=2 \mathrm{~m} possui densidade volumétrica \rho(z)=\rho_{0}(1+z / h), onde \rho_{0}= 3000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e z é medido a partir da base. Determine a coordenada z do centro de massa.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dados:
    • Raio do cilindro: R=0{,}5\:\mathrm{m}.
    • Altura do cilindro: h=2\:\mathrm{m}.
    • Densidade volumétrica dependente de z: \rho(z)=\rho_{0}\!\left(1+\dfrac{z}{h}\right), com \rho_{0}=3000\:\mathrm{kg/m^{3}}.
    • A coordenada z é medida a partir da base do cilindro (ou seja, z=0 na base e z=h no topo).
  • O que é pedido:
    • Determinar a coordenada z do centro de massa do cilindro.

Passo 2

Vamos escrever a definição do centro de massa ao longo do eixo z. Para um corpo com densidade volumétrica \rho(\mathbf{r}), a coordenada z do centro de massa é
\bar z = \frac{1}{M}\int z\,dm,
onde M é a massa total e dm=\rho\,dV. Aqui a densidade depende só de z, então podemos escrever as integrais em função de z. Expliquei o que cada símbolo significa:
  • M é a massa total do cilindro.
  • dm é um elemento de massa, igual a \rho(z)\,dV.
  • dV é um elemento de volume.
Para o cilindro de raio constante, a área da secção transversal é
A=\pi R^{2}.
Um elemento de volume ao longo do eixo é dV=A\,dz. Portanto:
M=\int dm=\int_{0}^{h}\rho(z)\,A\,dz, \qquad \int z\,dm=\int_{0}^{h} z\,\rho(z)\,A\,dz.

Passo 3

Calcular a massa total M. Substituindo \rho(z)=\rho_{0}\!\left(1+\dfrac{z}{h}\right) e A=\pi R^{2},
M = A\rho_{0}\int_{0}^{h}\left(1+\frac{z}{h}\right)dz.
Vamos calcular a integral passo a passo:
\int_{0}^{h}\left(1+\frac{z}{h}\right)dz = \int_{0}^{h}1\,dz + \int_{0}^{h}\frac{z}{h}\,dz = \left[z\right]_{0}^{h} + \frac{1}{h}\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{h}.
Isso dá
\int_{0}^{h}\left(1+\frac{z}{h}\right)dz = h + \frac{1}{h}\cdot\frac{h^{2}}{2} = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}.
Portanto a massa total é
M = A\rho_{0}\cdot\frac{3h}{2} = \frac{3}{2}\,\pi R^{2}\rho_{0}h.

Passo 4

Calcular o numerador \displaystyle\int_{0}^{h} z\,\rho(z)\,A\,dz. Substituindo,
\int_{0}^{h} z\,\rho(z)\,A\,dz = A\rho_{0}\int_{0}^{h} z\!\left(1+\frac{z}{h}\right)dz.
Desenvolvendo a integral:
\int_{0}^{h} z\!\left(1+\frac{z}{h}\right)dz = \int_{0}^{h} z\,dz + \int_{0}^{h}\frac{z^{2}}{h}\,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{h} + \frac{1}{h}\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{h}.
Isso dá
\int_{0}^{h} z\!\left(1+\frac{z}{h}\right)dz = \frac{h^{2}}{2} + \frac{h^{3}}{3h} = \frac{h^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{3} = h^{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right).
Somando as frações:
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6},
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\int_{0}^{h} z\!\left(1+\frac{z}{h}\right)dz = \frac{5}{6}\,h^{2}.
Multiplicando por A\rho_{0},
\int_{0}^{h} z\,\rho(z)\,A\,dz = A\rho_{0}\cdot\frac{5}{6}\,h^{2} = \frac{5}{6}\,\pi R^{2}\rho_{0}h^{2}.

Passo 5

Agora formamos a razão para obter \bar z:
\bar z = \frac{1}{M}\int_{0}^{h} z\,dm = \frac{\dfrac{5}{6}\,\pi R^{2}\rho_{0}h^{2}}{\dfrac{3}{2}\,\pi R^{2}\rho_{0}h}.
Corta-se o fator comum \pi R^{2}\rho_{0} e simplifica-se em h:
\bar z = \frac{\dfrac{5}{6}\,h^{2}}{\dfrac{3}{2}\,h} = \frac{5}{6}\cdot\frac{h^{2}}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{h} = \frac{5}{9}\,h.
Portanto a coordenada do centro de massa em termos de h é \bar z=\dfrac{5}{9}\,h.

Passo 6

Agora substituímos h=2\:\mathrm{m}:
\bar z = \frac{5}{9}\cdot 2 = \frac{10}{9}\:\mathrm{m}=1{,}1\overline{1}\:\mathrm{m}.
Interpretação rápida: como a densidade aumenta com z, o centro de massa fica acima do meio geométrico h/2=1\:\mathrm{m}, o que faz sentido.

Resposta

\bar z=\dfrac{10}{9}\:\mathrm{m}

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