Um cilindro de raio
e altura
possui densidade volumétrica
, onde
e
é medido a partir da base. Determine a coordenada
do centro de massa.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dados:
- Raio do cilindro:
. - Altura do cilindro:
. - Densidade volumétrica dependente de
: , com . - A coordenada
é medida a partir da base do cilindro (ou seja, na base e no topo).
- Raio do cilindro:
- O que é pedido:
- Determinar a coordenada
do centro de massa do cilindro.
- Determinar a coordenada
Passo 2
Vamos escrever a definição do centro de massa ao longo do eixo
. Para um corpo com densidade volumétrica
, a coordenada
do centro de massa é
onde
é a massa total e
. Aqui a densidade depende só de
, então podemos escrever as integrais em função de
. Expliquei o que cada símbolo significa:
-
é a massa total do cilindro. -
é um elemento de massa, igual a . -
é um elemento de volume.
Para o cilindro de raio constante, a área da secção transversal é
Um elemento de volume ao longo do eixo é
. Portanto:
Passo 3
Calcular a massa total
. Substituindo
e
,
Vamos calcular a integral passo a passo:
Isso dá
Portanto a massa total é
Passo 4
Calcular o numerador
. Substituindo,
Desenvolvendo a integral:
Isso dá
Somando as frações:
logo
Multiplicando por
,
Passo 5
Agora formamos a razão para obter
:
Corta-se o fator comum
e simplifica-se em
:
Portanto a coordenada do centro de massa em termos de
é
.
Passo 6
Agora substituímos
:
Interpretação rápida: como a densidade aumenta com
, o centro de massa fica acima do meio geométrico
, o que faz sentido.