Uma esfera sólida de raio 2 é perfurada diametralmente por uma broca cilíndrica de raio 1. Determine o volume de material retirado.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo volumes sólidos. Temos uma esfera sólida com raio 2 unidades que foi perfurada diametralmente por uma broca cilíndrica com raio 1 unidade. Nosso objetivo é determinar o volume de material que foi retirado pela perfuração. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria espacial, especificamente os cálculos de volume de esfera e cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa perfurar a esfera com um cilindro. Imagine uma esfera sólida. Quando fazemos uma perfuração diametral, estamos inserindo um cilindro cujo eixo coincide com um diâmetro da esfera. O volume retirado será a parte do cilindro que está dentro da esfera.
Passo 3
Para encontrar o volume do material retirado, precisamos calcular o volume da parte do cilindro que está dentro da esfera. Vamos chamar:
- $ R $ de raio da esfera (neste caso, $ R = 2 $)
- $ r $ de raio da broca cilíndrica (neste caso, $ r = 1 $)
- $ h $ de altura do cilindro dentro da esfera
Passo 4
A altura $ h $ do cilindro que está dentro da esfera pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera, o raio da base do cilindro e a metade da altura do cilindro ($ \frac{h}{2} $):
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos a altura $ h $ do cilindro dentro da esfera, podemos calcular o volume do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Substituindo os valores:
Resposta
O volume de material retirado é $ 2\pi\sqrt{3} $ unidades cúbicas, aproximadamente igual a 10,88 unidades cúbicas.