Uma esfera sólida, de raio
e massa
, e uma casca esférica, de raio
e massa
, são soltas ao mesmo tempo e com a mesma velocidade, em uma rampa de altura
. Elas rolam sem deslizar pela rampa. Marque a afirmativa correta:
Escolha uma opção:
O objeto de menor raio chegará primeiro à base da rampa.
A casca esférica chega primeiro na base da rampa.
A esfera sólida e a casca esférica chegam juntas na base da rampa.
O objeto de maior massa chegará primeiro à base da rampa.
A esfera sólida chega primeiro na base da rampa.
Passo 1
O enunciado dá duas massas rolantes soltas ao mesmo tempo do topo de uma rampa de altura
:
- Uma esfera sólida de raio
e massa . - Uma casca esférica (fina) de raio
e massa .
Ambas rolam sem deslizar e partem com a mesma condição inicial (mesma posição/velocidade). A pergunta é: qual das afirmações dadas é correta (qual objeto chega primeiro, ou se chegam juntos, ou se depende da massa/raio)?
Informações relevantes listadas:
- Altura da rampa:
. - Rolamento sem deslizamento: há relação entre velocidade linear
e velocidade angular . - Momentos de inércia diferentes para os dois corpos (esfera sólida vs casca).
- Não foi dada a inclinação explícita da rampa, apenas a altura
.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Princípio físico essencial (aula curta): conservação da energia mecânica para um corpo que rola sem deslizar, sem perdas por atrito dissipativo. Explicando passo a passo:
- A energia potencial gravitacional inicial de cada corpo é
, onde é a massa do corpo, a aceleração da gravidade e a altura vertical. - Ao chegar à base da rampa, essa energia se transforma em energia cinética translacional
e em energia cinética rotacional , onde é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e é sua velocidade angular. - Portanto, pela conservação de energia:
- Condição de rolamento sem deslizamento (essencial): a velocidade linear na borda está ligada à velocidade angular por
onde
é o raio do corpo. Vou usar essa relação para eliminar
na equação de energia.
Passo 3
Momento de inércia (o que é e valores específicos):
- O momento de inércia
mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; quanto maior maior a fração de energia que fica no giro e menor a fração que vira velocidade de translação. - Para uma esfera sólida (massa
, raio ) vale
- Para uma casca esférica fina (massa
, raio ) vale
Observe que os valores
e
são adimensionais e independem do tamanho absoluto do raio e da massa — dependem apenas de como a massa está distribuída.
Passo 4
Resolver a equação de energia em forma geral para
. Substituindo
em
obtém-se
Isolando
:
Aqui aparece a razão adimensional
(vou chamar de
), que resume o efeito da distribuição de massa:
Portanto
Importante: a massa
cancelou — a velocidade final não depende da massa total do corpo, apenas de
.
Passo 5
Calcular
para cada corpo e comparar
:
- Para a esfera sólida:
. Então
- Para a casca esférica:
. Então
Comparando os dois valores:
logo
, portanto
. Isso significa que, ao chegarem à base, a esfera sólida tem maior velocidade linear do que a casca.
Passo 6
Conectar velocidade final maior com tempo de descida (por que chega primeiro):
- Outra forma (útil para prova) é obter a aceleração de translação
ao longo da rampa usando dinâmica e torque; o resultado geral para rolamento sem deslizamento é
onde
é o ângulo de inclinação da rampa e
.
- O tempo
para percorrer o comprimento da rampa a partir do repouso satisfaz . Como a altura e o ângulo estão relacionados por , ao combinar as expressões fica evidente que depende de : corpos com menor têm maior aceleração e menor tempo de descida (o fator cancela na expressão final do tempo em função de ). - Como já vimos,
. Portanto a esfera sólida tem maior aceleração e menor tempo de descida que a casca, independentemente das massas ou raios .
Passo 7
Resumo do raciocínio (rápido): a energia potencial vira energia translacional e rotacional; a fração que vai para rotação é proporcional a
. Como
da esfera sólida (
) é menor que o da casca (
), a esfera sólida fica com mais energia translacional e acelera mais — portanto chega antes.
Resposta
A esfera sólida chega primeiro na base da rampa.