Uma esfera sólida, de raio R_{1} e massa m_{1}, e uma casca esférica, de raio R_{2} e massa m_{2}, são soltas ao mesmo tempo e com a mesma velocidade, em uma rampa de altura h. Elas rolam sem deslizar pela rampa. Marque a afirmativa correta:
Escolha uma opção:
\bigcirc O objeto de menor raio chegará primeiro à base da rampa.
\bigcirc A casca esférica chega primeiro na base da rampa.
\bigcirc A esfera sólida e a casca esférica chegam juntas na base da rampa.
\bigcirc O objeto de maior massa chegará primeiro à base da rampa.
\bigcirc A esfera sólida chega primeiro na base da rampa.

Passo 1

O enunciado dá duas massas rolantes soltas ao mesmo tempo do topo de uma rampa de altura h:
  • Uma esfera sólida de raio R_{1} e massa m_{1}.
  • Uma casca esférica (fina) de raio R_{2} e massa m_{2}.
    Ambas rolam sem deslizar e partem com a mesma condição inicial (mesma posição/velocidade). A pergunta é: qual das afirmações dadas é correta (qual objeto chega primeiro, ou se chegam juntos, ou se depende da massa/raio)?
Informações relevantes listadas:
  • Altura da rampa: h.
  • Rolamento sem deslizamento: há relação entre velocidade linear v e velocidade angular \omega.
  • Momentos de inércia diferentes para os dois corpos (esfera sólida vs casca).
  • Não foi dada a inclinação explícita da rampa, apenas a altura h.
    A resolução começa a seguir.

Passo 2

Princípio físico essencial (aula curta): conservação da energia mecânica para um corpo que rola sem deslizar, sem perdas por atrito dissipativo. Explicando passo a passo:
  • A energia potencial gravitacional inicial de cada corpo é m g h, onde m é a massa do corpo, g a aceleração da gravidade e h a altura vertical.
  • Ao chegar à base da rampa, essa energia se transforma em energia cinética translacional \tfrac{1}{2} m v^{2} e em energia cinética rotacional \tfrac{1}{2} I \omega^{2}, onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e \omega é sua velocidade angular.
  • Portanto, pela conservação de energia:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} I \omega^{2}.
  • Condição de rolamento sem deslizamento (essencial): a velocidade linear na borda está ligada à velocidade angular por
v = \omega R,
onde R é o raio do corpo. Vou usar essa relação para eliminar \omega na equação de energia.

Passo 3

Momento de inércia (o que é e valores específicos):
  • O momento de inércia I mede como a massa está distribuída em relação ao eixo; quanto maior I maior a fração de energia que fica no giro e menor a fração que vira velocidade de translação.
  • Para uma esfera sólida (massa m, raio R) vale
I_{\text{esfera}} = \tfrac{2}{5} m R^{2}.
  • Para uma casca esférica fina (massa m, raio R) vale
I_{\text{casca}} = \tfrac{2}{3} m R^{2}.
Observe que os valores \tfrac{2}{5} e \tfrac{2}{3} são adimensionais e independem do tamanho absoluto do raio e da massa — dependem apenas de como a massa está distribuída.

Passo 4

Resolver a equação de energia em forma geral para v. Substituindo \omega = v/R em
m g h = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} I \omega^{2}
obtém-se
m g h = \tfrac{1}{2} v^{2}\left(m + \frac{I}{R^{2}}\right).
Isolando v^{2}:
v^{2} = \frac{2 m g h}{m + \dfrac{I}{R^{2}}} = \frac{2 g h}{1 + \dfrac{I}{m R^{2}}}.
Aqui aparece a razão adimensional \dfrac{I}{m R^{2}} (vou chamar de \kappa), que resume o efeito da distribuição de massa:
\kappa \equiv \frac{I}{m R^{2}}.
Portanto
v^{2} = \frac{2 g h}{1 + \kappa}.
Importante: a massa m cancelou — a velocidade final não depende da massa total do corpo, apenas de \kappa.

Passo 5

Calcular \kappa para cada corpo e comparar v:
  • Para a esfera sólida: \kappa_{\text{esfera}} = \tfrac{2}{5}. Então
v_{\text{esfera}}^{2} = \frac{2 g h}{1 + \tfrac{2}{5}} = \frac{2 g h}{\tfrac{7}{5}} = \tfrac{10}{7}\, g h.
  • Para a casca esférica: \kappa_{\text{casca}} = \tfrac{2}{3}. Então
v_{\text{casca}}^{2} = \frac{2 g h}{1 + \tfrac{2}{3}} = \frac{2 g h}{\tfrac{5}{3}} = \tfrac{6}{5}\, g h.
Comparando os dois valores:
\tfrac{10}{7}\, g h \approx 1{,}4286\, g h \quad\text{e}\quad \tfrac{6}{5}\, g h = 1{,}2\, g h,
logo v_{\text{esfera}}^{2} > v_{\text{casca}}^{2}, portanto v_{\text{esfera}} > v_{\text{casca}}. Isso significa que, ao chegarem à base, a esfera sólida tem maior velocidade linear do que a casca.

Passo 6

Conectar velocidade final maior com tempo de descida (por que chega primeiro):
  • Outra forma (útil para prova) é obter a aceleração de translação a ao longo da rampa usando dinâmica e torque; o resultado geral para rolamento sem deslizamento é
a = \frac{g\sin\theta}{1 + \kappa},
onde \theta é o ângulo de inclinação da rampa e \kappa = I/(mR^{2}).
  • O tempo t para percorrer o comprimento da rampa s a partir do repouso satisfaz s = \tfrac{1}{2} a t^{2}. Como a altura h e o ângulo estão relacionados por h = s\sin\theta, ao combinar as expressões fica evidente que t depende de 1+\kappa: corpos com menor \kappa têm maior aceleração e menor tempo de descida (o fator \sin\theta cancela na expressão final do tempo em função de h).
  • Como já vimos, \kappa_{\text{esfera}} = \tfrac{2}{5} < \kappa_{\text{casca}} = \tfrac{2}{3}. Portanto a esfera sólida tem maior aceleração e menor tempo de descida que a casca, independentemente das massas m_{1},m_{2} ou raios R_{1},R_{2}.

Passo 7

Resumo do raciocínio (rápido): a energia potencial vira energia translacional e rotacional; a fração que vai para rotação é proporcional a \kappa=I/(mR^{2}). Como \kappa da esfera sólida ( \tfrac{2}{5}) é menor que o da casca ( \tfrac{2}{3}), a esfera sólida fica com mais energia translacional e acelera mais — portanto chega antes.

Resposta

A esfera sólida chega primeiro na base da rampa.

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