Questão 09 (10 pontos)
Um vento moderado acelera um pequeno seixo (fragmento de rocha) em um plano horizontal xy com uma aceleração
, com unidades no SI. No instante
, o seixo deixa a posição
, com velocidade inicial
. Com base nestas informações, é correto afirmar que o vetor posição instantânea, para o pequeno fragmento de rocha, é dado pela expressão:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a expressão do vetor posição instantânea
do seixo e escolha a alternativa correta entre as dadas. Do enunciado peguei as seguintes informações (copiadas do texto):
(obs.: no enunciado original os dois termos aparecem com
, o que parece ser um erro tipográfico; aqui estou usando o primeiro termo com
e o segundo com
— isto é o que faz sentido físico/matemático.)
Condições iniciais:
O que nos pedem: encontrar
e identificar qual alternativa (a)–(e) coincide com essa expressão.
Passo 2
Estratégia matemática básica (sem pular etapas): a aceleração é a segunda derivada da posição. Então para obter
integramos a aceleração uma vez para obter a velocidade
e integramos de novo para achar
. Cada integração traz uma constante arbitrária que determinamos usando as condições iniciais. Lembrete de integrais úteis (para
constante):
Aqui
é só um número (
nos nossos casos),
é a variável de integração, e
é a constante de integração.
Passo 3
Integramos a componente
da aceleração para obter
.
Temos
Integramos:
Usando
, obtemos
Aplicamos a condição inicial
. Como
, fica
Logo
Passo 4
Integramos a componente
da aceleração para obter
.
Temos
Integramos:
Usando
, obtemos
Aplicamos a condição inicial
. Como
,
Logo
Passo 5
Agora integramos
para obter
.
Temos
Integramos:
Usando
,
Aplicamos
. Como
,
Portanto
Passo 6
Integramos
para obter
.
Temos
Integramos:
Usando
,
Aplicamos
. Como
,
Portanto
Passo 7
Montamos o vetor posição com as componentes encontradas:
Checagem rápida (sanity check): derivando duas vezes
obtemos
que coincide com a aceleração dada — portanto está tudo consistente.
Passo 8
Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)