Questão 09 (10 pontos)

Um vento moderado acelera um pequeno seixo (fragmento de rocha) em um plano horizontal xy com uma aceleração \vec{a}(t)=\left[-0,4 \pi^{2} \cos (\pi . t)\right] \hat{j}+\left[-0,4 \pi^{2} \operatorname{sen}(\pi . t)\right] \hat{j}, com unidades no SI. No instante \mathrm{t}=0, o seixo deixa a posição \vec{r}_{0}=(0,4 m) \hat{i}+0 \hat{j}, com velocidade inicial \vec{v}_{0}=(0 m / s) \hat{i}+(0,4 \pi m / s) \hat{j}. Com base nestas informações, é correto afirmar que o vetor posição instantânea, para o pequeno fragmento de rocha, é dado pela expressão:
a) \vec{r}(t)=[0,4 \pi \cos (\pi . t)] \hat{i}+[0,4 \pi \operatorname{sen}(\pi . t)] \hat{j}
b) \vec{r}(t)=[0,4 \operatorname{sen}(\pi . t)] \hat{i}+[0,4 \operatorname{sen}(\pi . t)] \hat{j}
c) \vec{r}(t)=[0,4 \operatorname{sen}(\pi . t)] \hat{i}+[0,4 \cos (\pi . t)] \hat{j}
d) \vec{r}(t)=[0,4 \cos (\pi . t)] \hat{i}+[0,4 \cos (\pi . t)] \hat{j}
e) \vec{r}(t)=[0,4 \cos (\pi . t)] \hat{i}+[0,4 \operatorname{sen}(\pi . t)] \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a expressão do vetor posição instantânea \vec{r}(t) do seixo e escolha a alternativa correta entre as dadas. Do enunciado peguei as seguintes informações (copiadas do texto):
\vec{a}(t) = \big[-0,4\pi^{2}\cos(\pi t)\big]\hat{i} + \big[-0,4\pi^{2}\sin(\pi t)\big]\hat{j}
(obs.: no enunciado original os dois termos aparecem com \hat{j}, o que parece ser um erro tipográfico; aqui estou usando o primeiro termo com \hat{i} e o segundo com \hat{j} — isto é o que faz sentido físico/matemático.)
Condições iniciais:
\vec{r}(0) = (0,4)\hat{i} + 0\hat{j}
\vec{v}(0) = 0\hat{i} + (0,4\pi)\hat{j}
O que nos pedem: encontrar \vec{r}(t) e identificar qual alternativa (a)–(e) coincide com essa expressão.

Passo 2

Estratégia matemática básica (sem pular etapas): a aceleração é a segunda derivada da posição. Então para obter \vec{r}(t) integramos a aceleração uma vez para obter a velocidade \vec{v}(t) e integramos de novo para achar \vec{r}(t). Cada integração traz uma constante arbitrária que determinamos usando as condições iniciais. Lembrete de integrais úteis (para a constante):
\int \cos(a t)\,dt = \frac{1}{a}\sin(a t) + C, \qquad \int \sin(a t)\,dt = -\frac{1}{a}\cos(a t) + C.
Aqui a é só um número ( a=\pi nos nossos casos), t é a variável de integração, e C é a constante de integração.

Passo 3

Integramos a componente x da aceleração para obter v_x(t).
Temos
a_x(t) = -0,4\pi^{2}\cos(\pi t).
Integramos:
v_x(t)=\int a_x(t)\,dt = -0,4\pi^{2}\int \cos(\pi t)\,dt.
Usando \int \cos(\pi t)\,dt = \frac{1}{\pi}\sin(\pi t), obtemos
v_x(t) = -0,4\pi^{2}\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi t) + C_x = -0,4\pi\sin(\pi t) + C_x.
Aplicamos a condição inicial v_x(0)=0. Como \sin(0)=0, fica
0 = v_x(0) = -0,4\pi\cdot 0 + C_x \implies C_x=0.
Logo
v_x(t) = -0,4\pi\sin(\pi t).

Passo 4

Integramos a componente y da aceleração para obter v_y(t).
Temos
a_y(t) = -0,4\pi^{2}\sin(\pi t).
Integramos:
v_y(t)=\int a_y(t)\,dt = -0,4\pi^{2}\int \sin(\pi t)\,dt.
Usando \int \sin(\pi t)\,dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t), obtemos
v_y(t) = -0,4\pi^{2}\cdot\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right) + C_y = 0,4\pi\cos(\pi t) + C_y.
Aplicamos a condição inicial v_y(0)=0,4\pi. Como \cos(0)=1,
0,4\pi = v_y(0) = 0,4\pi\cdot 1 + C_y \implies C_y=0.
Logo
v_y(t) = 0,4\pi\cos(\pi t).

Passo 5

Agora integramos v_x(t) para obter x(t).
Temos
v_x(t) = -0,4\pi\sin(\pi t).
Integramos:
x(t)=\int v_x(t)\,dt = -0,4\pi\int \sin(\pi t)\,dt.
Usando \int \sin(\pi t)\,dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t),
x(t) = -0,4\pi\cdot\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right) + C_{x0} = 0,4\cos(\pi t) + C_{x0}.
Aplicamos x(0)=0,4. Como \cos(0)=1,
0,4 = x(0) = 0,4\cdot 1 + C_{x0} \implies C_{x0}=0.
Portanto
x(t) = 0,4\cos(\pi t).

Passo 6

Integramos v_y(t) para obter y(t).
Temos
v_y(t) = 0,4\pi\cos(\pi t).
Integramos:
y(t)=\int v_y(t)\,dt = 0,4\pi\int \cos(\pi t)\,dt.
Usando \int \cos(\pi t)\,dt = \frac{1}{\pi}\sin(\pi t),
y(t) = 0,4\pi\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi t) + C_{y0} = 0,4\sin(\pi t) + C_{y0}.
Aplicamos y(0)=0. Como \sin(0)=0,
0 = y(0) = 0 + C_{y0} \implies C_{y0}=0.
Portanto
y(t) = 0,4\sin(\pi t).

Passo 7

Montamos o vetor posição com as componentes encontradas:
\vec{r}(t) = \big[0,4\cos(\pi t)\big]\hat{i} + \big[0,4\sin(\pi t)\big]\hat{j}.
Checagem rápida (sanity check): derivando duas vezes \vec{r}(t) obtemos
\ddot{x}(t) = \frac{d^{2}}{dt^{2}}\big(0,4\cos(\pi t)\big) = -0,4\pi^{2}\cos(\pi t),
\ddot{y}(t) = \frac{d^{2}}{dt^{2}}\big(0,4\sin(\pi t)\big) = -0,4\pi^{2}\sin(\pi t),
que coincide com a aceleração dada — portanto está tudo consistente.

Passo 8

Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) \vec{r}(t)=[0,4\cos(\pi t)]\hat{i}+[0,4\sin(\pi t)]\hat{j}

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