• Uma esfera sólida tem geração de calor no seu interior. Assumindo, entre outras coisas, que a condução é unidimensional e que a geração de calor é uniforme:
    a) Obter uma expressão para a distribuição de temperatura no interior da esfera sólida. Realizar esta dedução explicando passo a passo.
    b) Obter uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução em função do raio. Realizar esta dedução explicando passo a passo.
    c) Determinar o valor do calor gerado por uma esfera de combustível nuclear de tório com 100 mm de diâmetro e com condutividade térmica de 57 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), se as temperaturas no centro e na superfície externa são 2500 K e 800 K , respectivamente.

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor unidimensional em uma esfera sólida com geração volumétrica uniforme de calor q''' (em \mathrm{W/m^3}). Precisamos:
  • Derivar a distribuição de temperatura T(r) em função do raio r.
  • Obter a taxa de calor conduzido através de uma superfície esférica de raio r.
  • No caso particular, calcular q''' dado que a esfera tem diâmetro 100\\ \mathrm{mm} ( R=0{,}05\\ \mathrm{m}), condutividade k=57\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, temperatura no centro T(0)=2500\\ \mathrm{K} e na superfície T(R)=800\\ \mathrm{K}.
Para isso, usaremos a equação diferencial da condução de calor em coordenadas esféricas no regime permanente e sem convecção interna:
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dT}{dr}\Bigr) + \frac{q'''}{k} = 0.

Passo 2

Integramos uma vez a equação radial. Multiplicando por r^2 e integrando em r:
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dT}{dr}\Bigr) = -\frac{q'''}{k}\,r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{k}\,\frac{r^3}{3} + C_1.

Passo 3

Integramos de novo para obter T(r):
\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{3k}\,r + \frac{C_1}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad T(r) = -\frac{q'''}{6k}\,r^2 - \frac{C_1}{r} + C_2.
Para que T(r) seja finita em r=0, devemos ter C_1=0. Assim:
T(r) = -\frac{q'''}{6k}\,r^2 + C_2.

Passo 4

Impondo a condição de contorno na superfície r=R, onde T(R)=T_s, obtemos
T_s = -\frac{q'''}{6k}\,R^2 + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = T_s + \frac{q'''}{6k}\,R^2.
Logo a distribuição de temperatura é
\boxed{% T(r) = T_s + \frac{q'''}{6k}\,(R^2 - r^2)\,.% }

Passo 5

A taxa de calor conduzido através da superfície esférica de raio r é
\dot Q(r) = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr} \quad\text{com}\quad A(r) = 4\pi r^2.
Como
\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{3k}\,r,
vem
\dot Q(r) = -k\,(4\pi r^2)\,\Bigl(-\frac{q'''}{3k}\,r\Bigr) = \frac{4\pi\,q'''}{3}\,r^3.
Portanto,
\boxed{% \dot Q(r) = \frac{4\pi\,q'''}{3}\,r^3\,.% }

Passo 6

No centro r=0 a temperatura é T(0)=T_c. Pela expressão de T(r):
T_c = T_s + \frac{q'''}{6k}\,R^2 \quad\Longrightarrow\quad q''' = \frac{6k\,(T_c - T_s)}{R^2}.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
k = 57\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad T_c - T_s = 2500 - 800 = 1700\\ \mathrm{K},\quad R = 0{,}05\\ \mathrm{m},
q''' = \frac{6\cdot 57 \cdot 1700}{(0{,}05)^2} = \frac{581400}{0{,}0025} \approx 2{,}33\times 10^{8}\\ \mathrm{W/m^3}.

Resposta

O calor gerado volumetricamente é
q''' \approx 2,33\times 10^{8}\\ \mathrm{W/m^3}.

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