- Uma esfera sólida tem geração de calor no seu interior. Assumindo, entre outras coisas, que a condução é unidimensional e que a geração de calor é uniforme:
a) Obter uma expressão para a distribuição de temperatura no interior da esfera sólida. Realizar esta dedução explicando passo a passo.
b) Obter uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução em função do raio. Realizar esta dedução explicando passo a passo.
c) Determinar o valor do calor gerado por uma esfera de combustível nuclear de tório com 100 mm de diâmetro e com condutividade térmica de
, se as temperaturas no centro e na superfície externa são 2500 K e 800 K , respectivamente.
a) Obter uma expressão para a distribuição de temperatura no interior da esfera sólida. Realizar esta dedução explicando passo a passo.
b) Obter uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução em função do raio. Realizar esta dedução explicando passo a passo.
c) Determinar o valor do calor gerado por uma esfera de combustível nuclear de tório com 100 mm de diâmetro e com condutividade térmica de
Passo 1
O enunciado trata de condução de calor unidimensional em uma esfera sólida com geração volumétrica uniforme de calor
(em
). Precisamos:
- Derivar a distribuição de temperatura
em função do raio . - Obter a taxa de calor conduzido através de uma superfície esférica de raio
. - No caso particular, calcular
dado que a esfera tem diâmetro ( ), condutividade , temperatura no centro e na superfície .
Para isso, usaremos a equação diferencial da condução de calor em coordenadas esféricas no regime permanente e sem convecção interna:
Passo 2
Integramos uma vez a equação radial. Multiplicando por
e integrando em
:
Passo 3
Integramos de novo para obter
:
Para que
seja finita em
, devemos ter
. Assim:
Passo 4
Impondo a condição de contorno na superfície
, onde
, obtemos
Logo a distribuição de temperatura é
Passo 5
A taxa de calor conduzido através da superfície esférica de raio
é
Como
vem
Portanto,
Passo 6
No centro
a temperatura é
. Pela expressão de
:
Passo 7
Substituindo os valores numéricos:
Resposta
O calor gerado volumetricamente é