{ }^{a} Questão. (30 pontos) Use o metódo da variaçāo dos parâmetros para encontrar uma. solução particular da seguinte equação diferencial
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e^{-2 t}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' - y' - 2y = 3e^{-2t}
e pede uma solução particular usando o método da variação de parâmetros.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método da variação de parâmetros, que consiste em trocar as constantes da solução homogênea por funções de t.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' - y' - 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}.
Passo 3
No método da variação de parâmetros supomos
y_p(t) = u_1(t)\,e^{2t} + u_2(t)\,e^{-t},
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar. Impomos as condições auxiliares
\[\begin{cases} u_1'(t)\,e^{2t} + u_2'(t)\,e^{-t} = 0,\\\ u_1'(t)\,(e^{2t})' + u_2'(t)\,(e^{-t})' = 3e^{-2t}. \end{cases}
Como (e^{2t})'=2e^{2t}\] e \((e^{-t})'=-e^{-t}, o sistema fica