{ }^{a} Questão. (30 pontos) Use o metódo da variaçāo dos parâmetros para encontrar uma. solução particular da seguinte equação diferencial
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' - y' - 2y = 3e^{-2t}
e pede uma solução particular usando o método da variação de parâmetros.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método da variação de parâmetros, que consiste em trocar as constantes da solução homogênea por funções de t.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' - y' - 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

No método da variação de parâmetros supomos
y_p(t) = u_1(t)\,e^{2t} + u_2(t)\,e^{-t},
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar. Impomos as condições auxiliares \[\begin{cases} u_1'(t)\,e^{2t} + u_2'(t)\,e^{-t} = 0,\\\ u_1'(t)\,(e^{2t})' + u_2'(t)\,(e^{-t})' = 3e^{-2t}. \end{cases}
Como (e^{2t})'=2e^{2t}\] e \((e^{-t})'=-e^{-t}, o sistema fica
\begin{cases} u_1' e^{2t} + u_2' e^{-t} = 0,\\\\ 2u_1' e^{2t} - u_2' e^{-t} = 3e^{-2t}. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema para u_1' e u_2': somando as duas equações
3\,u_1'(t)\,e^{2t} = 3e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad u_1'(t) = e^{-4t}.
Em seguida, da primeira equação
u_2'(t)\,e^{-t} = -u_1'(t)\,e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad u_2'(t) = -e^{-4t}e^{3t} = -e^{-t}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(t) = \int e^{-4t}\,dt = -\tfrac14 e^{-4t}, \qquad u_2(t) = \int (-e^{-t})\,dt = e^{-t}.

Passo 6

Agora a solução particular é
y_p(t) = u_1(t)\,e^{2t} + u_2(t)\,e^{-t} = \Bigl(-\tfrac14 e^{-4t}\Bigr)e^{2t} + \bigl(e^{-t}\bigr)e^{-t} = -\tfrac14 e^{-2t} + e^{-2t} = \tfrac34 e^{-2t}.

Resposta

A solução particular obtida por variação de parâmetros é
y_p(t) = \frac{3}{4}e^{-2t}.

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