{ }^{a} Questão. (35 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
x_{1}^{\prime}(t)=-x_{1}+2 x_{2}
x_{2}^{\prime}(t)=\frac{1}{2} x_{1}-2 x_{2}
com condições iniciais x_{1}(0)=0 e x_{2}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
x_{1}'(t) = -\,x_{1}(t) + 2\,x_{2}(t), \quad x_{2}'(t) = \tfrac12\,x_{1}(t) - 2\,x_{2}(t),
com condições iniciais x_{1}(0)=0 e x_{2}(0)=1.
O método que vamos usar é o de autovalores e autovetores, que consiste em escrever o sistema na forma matricial X' = A\,X, achar os autovalores \lambda de A, seus autovetores v, montar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos
X(t) = \begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[6pt]x_{2}(t)\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[3pt]\tfrac12 & -2\end{pmatrix},
logo X' = A\,X.
A equação característica de A vem de
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2\\[3pt]\tfrac12 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (-1-\lambda)(-2-\lambda) - 1 = \lambda^{2} + 3\lambda +1 = 0.
As raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.]

Passo 3

Para \lambda_{1} = \tfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}, resolvemos (A - \lambda_{1}I)v_{1}=0. Da primeira linha
(-1-\lambda_{1})\,v_{1,1} + 2\,v_{1,2} = 0 \;\Longrightarrow\; v_{1} = \begin{pmatrix}\sqrt{5}+1\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2} = \tfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}, de modo análogo
v_{2} = \begin{pmatrix}1-\sqrt{5}\\[3pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral é
X(t) = C_{1}e^{\lambda_{1}t}\,v_{1} \;+\; C_{2}e^{\lambda_{2}t}\,v_{2}.
Em t=0\) temos \[X(0) = C_{1}v_{1} + C_{2}v_{2} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema em C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}(\sqrt{5}+1) + C_{2}(1-\sqrt{5}) = 0,\\[3pt] C_{1} + C_{2} = 1. \end{cases}
Resolvendo, encontra-se
C_{1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}, \quad C_{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}.
Substituindo em cada componente e simplificando, obtemos fórmulas mais diretas para x_{1}(t)\] e \(x_{2}(t).]

Passo 5

Depois de simplificar,
x_{1}(t) = \frac{2}{\sqrt{5}}\Bigl(e^{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}t} - e^{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}t}\Bigr),
x_{2}(t) = \frac{1}{2\sqrt{5}}\Bigl((\sqrt{5}-1)\,e^{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}t} +(\sqrt{5}+1)\,e^{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}t}\Bigr).

Resposta

x_{1}(t) = \frac{2}{\sqrt{5}}\Bigl(e^{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}t} - e^{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}t}\Bigr), \quad x_{2}(t) = \frac{1}{2\sqrt{5}}\Bigl((\sqrt{5}-1)\,e^{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}t} +(\sqrt{5}+1)\,e^{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}t}\Bigr).

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