Questão. (35 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
com condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
com condições iniciais
e
.
O método que vamos usar é o de autovalores e autovetores, que consiste em escrever o sistema na forma matricial , achar os autovalores
de
, seus autovetores
, montar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.
O método que vamos usar é o de autovalores e autovetores, que consiste em escrever o sistema na forma matricial
Passo 2
Escrevemos
logo
.
A equação característica de vem de
A equação característica de
As raízes são
Passo 3
Para
, resolvemos
. Da primeira linha
Para
, de modo análogo
Passo 4
A solução geral é
Em
Isso dá o sistema em
:
Resolvendo, encontra-se
Substituindo em cada componente e simplificando, obtemos fórmulas mais diretas para
.]
Passo 5
Depois de simplificar,