Uma esfera uniforme de raio
e massa
é lançada em uma pista horizontal com velocidade inicial vo para a direita, conforme figura ao lado. No início ela só desliza (translada), sem girar, ou seja,
coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é
. Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa:
.
Qual a energia térmica produzida durante o período em que ficou deslizando?
Qual a energia térmica produzida durante o período em que ficou deslizando?
Passo 1
Beleza, vamos descrever o problema rapidinho. A gente tem uma esfera de raio
e massa
que começa a deslizar (sem girar, ou seja,
) numa superfície horizontal com velocidade inicial
. Há atrito cinético com coeficiente
. A esfera sofre desaceleração na translação e, ao mesmo tempo, ganha rotação por torque do atrito até chegar ao “rolamento puro” (quando
).
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (translação + rotação), torque de atrito, energia.
O que vamos precisar:
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (translação + rotação), torque de atrito, energia.
O que vamos precisar:
- Força de atrito
, - Equações de movimento para
e , - Condição de rolamento sem deslize
, - Balanço de energia inicial menos energia final pra achar o calor gerado.
Passo 2
Montando as equações:
- Translação:
- Rotação (torque em torno do centro):
$$\tau = f,R = I,\frac{d\omega}{dt},\quad I=\tfrac25MR^2
;\Longrightarrow;\frac{d\omega}{dt} = \frac{fR}{I} = \frac{\mu_cMg,R}{(2/5)MR^2}
= \frac{5}{2},\frac{\mu_cg}{R}.$$
Integrando a partir de
com
e
:
$$v(t)=v_0-\mu_cgt,\qquad
\omega(t)=0+\frac{5}{2},\frac{\mu_cg}{R};t.$$
Passo 3
Rolamento sem deslize ocorre quando
Substituindo:
$$v_0-\mu_cg,t_r ;=;\frac{5}{2},\frac{\mu_cg}{R},t_r;\times R
;=;\frac{5}{2},\mu_cg,t_r.
v_0 = \mu_c g,t_r;\Bigl(1+\tfrac52\Bigr)
= \frac{7}{2},\mu_cg,t_r
;\Longrightarrow;
;\Longrightarrow;
t_r = \frac{2,v_0}{7,\mu_c,g}.$$
Passo 4
Agora vamos ao balanço de energia:
Energia inicial (só translação):
Energia inicial (só translação):
Energia final (trans+rot) em
-
-
Então
$$E_f=\tfrac12,M,v_f^2 ;+;\tfrac12,I,\omega_f^2
=\tfrac12,M!\Bigl(\tfrac{5}{7}v_0\Bigr)^2
+\tfrac12!\bigl(\tfrac25MR2\bigr)!\Bigl(\tfrac{5}{7}\tfrac{v_0}{R}\Bigr)2.$$
Calculemos rápido:
-
-
Somando:
$$E_f=\frac{25}{98}Mv_02+\frac{5}{49}Mv_02
=\frac{25+10}{98}Mv_02=\frac{35}{98}Mv_02=\frac{5}{14}Mv_0^2.$$
Energia dissipada (calor) é
Resposta
A energia térmica gerada durante o deslizamento é