Uma esfera uniforme de raio R e massa M é lançada em uma pista horizontal com velocidade inicial vo para a direita, conforme figura ao lado. No início ela só desliza (translada), sem girar, ou seja, omega0=0.0 coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é muc. Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa: IC M=(2 / 5) M R^2.
Qual a energia térmica produzida durante o período em que ficou deslizando?

Passo 1

Beleza, vamos descrever o problema rapidinho. A gente tem uma esfera de raio R e massa M que começa a deslizar (sem girar, ou seja, omega0=0) numa superfície horizontal com velocidade inicial v0. Há atrito cinético com coeficiente muc. A esfera sofre desaceleração na translação e, ao mesmo tempo, ganha rotação por torque do atrito até chegar ao “rolamento puro” (quando v = omega R).
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (translação + rotação), torque de atrito, energia.
O que vamos precisar:
  1. Força de atrito f=mucMg,
  2. Equações de movimento para v(t) e omega(t),
  3. Condição de rolamento sem deslize v=omega R,
  4. Balanço de energia inicial menos energia final pra achar o calor gerado.

Passo 2

Montando as equações:
  • Translação:
M,a = -f Longrightarrow a = dvdt = -muc,g
- Rotação (torque em torno do centro):
$$\tau = f,R = I,\frac{d\omega}{dt},\quad I=\tfrac25MR^2
;\Longrightarrow;\frac{d\omega}{dt} = \frac{fR}{I} = \frac{\mu_cMg,R}{(2/5)MR^2}
= \frac{5}{2},\frac{\mu_cg}{R}.$$
Integrando a partir de tau = f,R = I,domegadt, I=tfrac25MR^2 ;Longrightarrow;domegadt = fRI = mucMg,R(2/5)MR^2 = 52,mucgR com t=0 e v(0)=v0:
$$v(t)=v_0-\mu_cgt,\qquad
\omega(t)=0+\frac{5}{2},\frac{\mu_cg}{R};t.$$

Passo 3

Rolamento sem deslize ocorre quando
v(tr)=omega(tr),R
Substituindo:
$$v_0-\mu_cg,t_r ;=;\frac{5}{2},\frac{\mu_cg}{R},t_r;\times R
;=;\frac{5}{2},\mu_cg,t_r. v0-mucg,tr ;=;52,mucgR,tr;times R ;=;52,mucg,trãv_0 = \mu_c g,t_r;\Bigl(1+\tfrac52\Bigr)
= \frac{7}{2},\mu_cg,t_r
;\Longrightarrow;
t_r = \frac{2,v_0}{7,\mu_c,g}.$$

Passo 4

Agora vamos ao balanço de energia:
Energia inicial (só translação):
Ei=tfrac12,M,v0^2
Energia final (trans+rot) em tr:
- vf=v(tr)=v0-mucg,tr=v0-mucg2v07mucg=57v0
- omegaf=vfR=57v0R
Então
$$E_f=\tfrac12,M,v_f^2 ;+;\tfrac12,I,\omega_f^2
=\tfrac12,M!\Bigl(\tfrac{5}{7}v_0\Bigr)^2
+\tfrac12!\bigl(\tfrac25MR2\bigr)!\Bigl(\tfrac{5}{7}\tfrac{v_0}{R}\Bigr)2.$$
Calculemos rápido:
  • Ef=tfrac12,M,vf^2 ;+;tfrac12,I,omegaf^2 =tfrac12,M!l(tfrac57v0r)^2 +tfrac12!l(tfrac25MR^2r)!l(tfrac57tfracv0Rr)^2
  • tfrac12M(tfrac57v0)^2=tfrac2598Mv0^2
    Somando:
$$E_f=\frac{25}{98}Mv_02+\frac{5}{49}Mv_02
=\frac{25+10}{98}Mv_02=\frac{35}{98}Mv_02=\frac{5}{14}Mv_0^2.$$
Energia dissipada (calor) é
tfrac12cdottfrac25MR^2cdot(tfrac57tfracv0R)^2 =tfrac15Mcdot2549v0^2=tfrac549Mv0^2

Resposta

A energia térmica gerada durante o deslizamento é
boxedQ=17,M,v0^2

Exercícios relacionados