Uma haste fina e uniforme de comprimento L=1,00 m e massa M=2,00 kg é mantida verticalmente com uma extremidade conectada em um pivô de baixo atrito ao solo e depois liberada do repouso. Determine o momento de inércia da haste em relação ao pivô.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o momento de inércia de uma haste fina e uniforme de comprimento I = integral r^2,dm e massa , presa por um pivô na sua extremidade de baixo. O conteúdo é “momento de inércia de corpos contínuos”, e o que vamos precisar é a ideia de densidade linear de massa e a integral

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a haste em “pedaços” infinitesimais de comprimento lambda = ML, . Cada pedaço está a uma distância dm = lambda,dx = ML,dx do pivô (que fica em ). A densidade linear de massa é
ou seja, cada pedacinho tem massa

Passo 3

Sabendo que o momento de inércia de um elemento de massa dI = x^2,dm, a uma distância dI = x^2!(ML,dx) = ML,x^2,dx é
substituímos :

Passo 4

Agora integramos de I = integral0^LML,x^2,dx = ML,integral0^Lx^2,dx = ML,l[tfracx^33r]0^L = ML,L^33 = 13,M,L^2 até :

Resposta

I = 13,M,L^2 = 13times 2,00 kgtimes (1,00 m)^2 = 23 kg,m^2approx 0,667 kg,m^2

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