Uma esfera uniforme de raio
e massa
é lançada em uma pista horizontal com velocidade inicial
para a direita, conforme figura ao lado. No início ela só desliza (translada), sem girar, ou seja,
coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é
. Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa:
.
Determine o tempo necessário para ela deixar de deslizar, e começar a rolar sem deslizar (ou seja, entrar em rolamento suave).
Determine o tempo necessário para ela deixar de deslizar, e começar a rolar sem deslizar (ou seja, entrar em rolamento suave).
Passo 1
Ok, olha só o que a questão pede: a gente tem uma esfera uniforme (raio
, massa
) que começa deslizando sem girar (
para a direita e
) num piso com atrito cinético
. O momento de inércia é
. A meta é achar o tempo que ela leva até parar de deslizar e entrar em rolamento suave (ou seja, até satisfazer
).
Conteúdo que usamos:
Conteúdo que usamos:
- Dinâmica de translação (Lei de Newton)
- Dinâmica de rotação (torque e momento de inércia)
- Condição de rolamento sem deslizamento
Passo 2
Força de atrito:
A única força horizontal é a de atrito cinético, que aponta pra esquerda e vale
A única força horizontal é a de atrito cinético, que aponta pra esquerda e vale
Ela gera desaceleração linear e também um torque na esfera.
Passo 3
Equação de translação (2ª lei de Newton):
Logo a aceleração linear é
Passo 4
Equação de rotação (torque =
):
O torque devido ao atrito em relação ao centro é
O torque devido ao atrito em relação ao centro é
Como
, a aceleração angular é
Passo 5
Agora integra a aceleração linear e angular (com condições iniciais
,
):
Passo 6
Impondo rolamento suave:
. Então
Reunindo termos: