Uma esfera uniforme de raio R e massa M é lançada em uma pista horizontal com velocidade inicial v0 para a direita, conforme figura ao lado. No início ela só desliza (translada), sem girar, ou seja, omega0=0.0 coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é mu c . Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa: IC M=(2 / 5) M R^2.
Determine o tempo necessário para ela deixar de deslizar, e começar a rolar sem deslizar (ou seja, entrar em rolamento suave).

Passo 1

Ok, olha só o que a questão pede: a gente tem uma esfera uniforme (raio , massa ) que começa deslizando sem girar ( para a direita e ) num piso com atrito cinético . O momento de inércia é . A meta é achar o tempo que ela leva até parar de deslizar e entrar em rolamento suave (ou seja, até satisfazer ).
Conteúdo que usamos:
  • Dinâmica de translação (Lei de Newton)
  • Dinâmica de rotação (torque e momento de inércia)
  • Condição de rolamento sem deslizamento

Passo 2

Força de atrito:
A única força horizontal é a de atrito cinético, que aponta pra esquerda e vale
Frm atrito=muc,M,g
Ela gera desaceleração linear e também um torque na esfera.

Passo 3

Equação de translação (2ª lei de Newton):
sum F = M,a Longrightarrow -muc,M,g = M,a
Logo a aceleração linear é
a = -,muc,g

Passo 4

Equação de rotação (torque = tau = Frm atrito,R = muc,M,g,R ):
O torque devido ao atrito em relação ao centro é
alpha = tauICM = muc,M,g,Rtfrac25MR^2 = 52,muc,gR
Como , a aceleração angular é

Passo 5

Agora integra a aceleração linear e angular (com condições iniciais v(t) = v0 + a,t = v0 - muc,g,t, omega(t) = 0 + alpha,t = 52,muc,gR,t , ):

Passo 6

Impondo rolamento suave: v0 - muc,g,t ;=;l(tfrac52,muc,gR,tr),R =52,muc,g,t . Então
v0 = muc,g,t + 52,muc,g,t = 72,muc,g,t Longrightarrow t = 27,v0muc,g
Reunindo termos:

Resposta

t = 2,v07,muc,g

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