Prova - Trabalho e Energia (25/09/2025) \_\_\_\_ 1. Explique os conceitos de trabalho, energia cinética e energia potencial e energia mecânica total. O que é um sistema conservativo? Quando ocorre dissipação de energia de um sistema? (Valor = 1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado pede que eu explique os conceitos abaixo e responda quando há dissipação de energia:
  • Trabalho;
  • Energia cinética;
  • Energia potencial;
  • Energia mecânica total;
  • O que é um sistema conservativo;
  • Quando ocorre dissipação de energia de um sistema.
Informações implícitas que vou usar: uso das definições formais de trabalho e energia, e relações entre trabalho e variação de energia (teorema trabalho-energia).

Passo 2

Trabalho — definição matemática e interpretação física.\n
Definição: o trabalho realizado por uma força ao deslocar um objeto de A para B é
W_{A\to B}=\int_{A}^{B}\vec F\cdot d\vec r.
O que isso significa, em linguagem simples: \vec F\cdot d\vec r é o produto escalar entre a força instantânea \vec F e um pequeno deslocamento d\vec r. O produto escalar mede quanto da força está “empurrando” exatamente na direção do deslocamento. Se a força estiver na mesma direção do deslocamento, ela realiza trabalho positivo; se estiver oposta, trabalho negativo; se for perpendicular, trabalho zero.\n
Caso simples (força constante): para uma força constante \vec F deslocando o corpo por \Delta\vec r,
W=\vec F\cdot\Delta\vec r=F\,\Delta r\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec F e \Delta\vec r. Exemplo rápido: empurrar uma caixa com força F ao longo de d na mesma direção dá W=F d.

Passo 3

Energia cinética — definição e surgimento pelo teorema trabalho-energia.\n
Definição: a energia cinética mede a energia associada ao movimento de um corpo de massa m com velocidade v. A expressão é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Motivação (derivação curta e didática): comece do trabalho total realizado pelas forças resultantes e use a segunda lei de Newton \vec F_{\text{res}}=m\vec a.
W_{\text{res}}=\int_{A}^{B}\vec F_{\text{res}}\cdot d\vec r=\int_{A}^{B} m\vec a\cdot d\vec r.
Como \vec a\cdot d\vec r = \dfrac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}v^{2}\right) dt (essa é uma identidade útil que se prova escrevendo \vec a=d\vec v/dt e usando produto escalar), integrando obtemos
W_{\text{res}}=\tfrac{1}{2}m v_{B}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{A}^{2}=\Delta K.
Isso é o teorema trabalho-energia: o trabalho resultante sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética. Na prova isso é importantíssimo: sempre que você somar trabalhos das forças já pode relacionar com mudança de \tfrac12 m v^2.

Passo 4

Energia potencial — conceito, relação com forças conservativas e exemplos simples.\n
Definição conceitual: energia potencial U é uma função da posição que existe quando a força é conservativa; ela mede a “energia armazenada” por causa da configuração do sistema (por exemplo, massa em altura, mola comprimida).\n
Relação fundamental: para forças conservativas o trabalho entre dois pontos independe do caminho e podemos definir U tal que
W_{A\to B}^{\text{(cons)}}=-\bigl(U(B)-U(A)\bigr)=-\Delta U.
Ou seja, o trabalho feito pela força conservativa é igual à perda de energia potencial. Isso garante que se um corpo perde U, ganha K na mesma quantidade (em ausência de outras forças).\n
Exemplos:
  • Gravidade perto da superfície da Terra: escolha referência com U=0 em alguma altura; subindo de 0 para h armazenamos
U=mgh,
onde m é a massa, g a aceleração da gravidade e h a altura (explico o porquê: a força peso é \vec F=-mg\hat y; calcular W entre alturas e usar W=-\Delta U resulta em U=mgh).\n
  • Mola (elástica): para uma mola com constante elástica k comprimida/esticada por x a energia potencial é
U=\tfrac{1}{2}k x^{2},
obtida integrando o trabalho da força elástica F=-kx.

Passo 5

Energia mecânica total e conservação.\n
Definição: energia mecânica total é a soma de energia cinética e potencial:
E_{\text{mec}}=K+U.
Se apenas forças conservativas agem sobre o sistema (nenhuma força dissipativa como atrito faz trabalho), então a energia mecânica é conservada, ou seja
\Delta E_{\text{mec}}=\Delta K+\Delta U=0.
Mostro isso combinando o teorema trabalho-energia com a relação trabalho-potencial: o trabalho total pode ser separado em trabalho de forças conservativas W_{\text{cons}} e de forças não conservativas W_{\text{nc}}. Pelo teorema trabalho-energia,
W_{\text{cons}}+W_{\text{nc}}=\Delta K.
Mas W_{\text{cons}}=-\Delta U, então
-\Delta U+W_{\text{nc}}=\Delta K \quad\Rightarrow\quad \Delta K+\Delta U=W_{\text{nc}}.
Portanto
\Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}}.
Se não há forças não conservativas ( W_{\text{nc}}=0), então \Delta E_{\text{mec}}=0: energia mecânica conservada.

Passo 6

O que é um sistema conservativo — propriedades práticas e teste rápido.\n
Características principais:
  • Forças conservativas (como gravidade idealizada, força elástica linear de mola ideal) têm trabalho que depende só dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.
  • Trabalho em um percurso fechado é zero:
\oint \vec F_{\text{cons}}\cdot d\vec r=0.
  • Consequência útil: existe função U(\text{posição})çã tal que \vec F=-\nabla U (essa última fórmula é mais formal; na prova básica basta saber a relação W=-\Delta U).\n
    Teste rápido na prova: calcule o trabalho indo e voltando pelo mesmo caminho; se não dá zero, há forças não conservativas.

Passo 7

Quando ocorre dissipação de energia — forças não conservativas e consequências.\n
Dissipação ocorre quando forças não conservativas (por exemplo, atrito cinético, resistência do ar, forças viscosas) realizam trabalho. O importante é:
  • Trabalho da(s) força(s) não conservativa(s) W_{\text{nc}} geralmente é negativo (retiram energia mecânica) e transforma essa energia em calor, som, deformação plástica etc.
  • Relação geral já obtida:
\Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}}.
Se W_{\text{nc}}<0, então E_{\text{mec}} diminui — é dissipação.\n
Exemplo ilustrativo rápido (sem números): bloco desce uma rampa com atrito; a perda de energia potencial mgh não se transforma totalmente em K: parte vai para calor devido ao atrito. Matematicamente,
mgh=\tfrac{1}{2}m v^{2} + \text{energia dissipada}.

Passo 8

Dicas práticas de prova — como aplicar isso passo a passo (bem amigável).\n
  • Identifique todas as forças e classifique-as (conservativa ou não).\n
  • Se só há forças conservativas, use conservação de energia mecânica E_{\text{mec}}= constante; é rápido e evita integrais.\n
  • Se houver forças não conservativas dadas (por ex. atrito), calcule o trabalho W_{\text{nc}} e use \Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}} ou o teorema trabalho-energia direto.\n
  • Para movimentação com velocidade inicial/ final use \Delta K=\tfrac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) (escreva sempre os passos: calcular U nos pontos, calcular \Delta K, montar equação).\n
    Força extra de ânimo: você consegue montar essas relações em qualquer exercício de trabalho/energia — identifique forças, escreva relação apropriada ( W=\int \vec F\cdot d\vec r, \Delta K=W_{\text{res}}, \Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}}) e resolva com calma.

Resposta

Trabalho: W_{A\to B}=\displaystyle\int_{A}^{B}\vec F\cdot d\vec r. Para força constante W=\vec F\cdot\Delta\vec r=F\,\Delta r\cos\theta. Trabalho positivo adiciona energia ao corpo, trabalho negativo retira energia.\n
Energia cinética: K=\tfrac{1}{2}m v^{2}. Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho resultante sobre uma partícula é a variação da energia cinética: W_{\text{res}}=\Delta K.\n
Energia potencial: função U(\text{posição})çã definida para forças conservativas, com W_{A\to B}^{\text{(cons)}}=-\Delta U. Exemplos: gravidade U=mgh (próxima à superfície) e mola U=\tfrac{1}{2}k x^{2}.\n
Energia mecânica total: E_{\text{mec}}=K+U. Se apenas forças conservativas atuam, E_{\text{mec}} é constante ( \Delta E_{\text{mec}}=0). Em geral \Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}}.\n
Sistema conservativo: sistema em que as forças atuantes são conservativas — trabalho entre dois pontos independe do caminho e o trabalho em um laço fechado é zero ( \oint \vec F\cdot d\vec r=0). Nesses sistemas existe U tal que \vec F=-\nabla U e E_{\text{mec}} é conservada.\n
Dissipação de energia: ocorre quando forças não conservativas (atrito, resistência do ar, forças viscosas) realizam trabalho ( W_{\text{nc}}), convertendo energia mecânica em calor ou outras formas internas. Nesse caso \Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}}<0 e a energia mecânica diminui.

Exercícios relacionados