5. Esforço Cortante:

(a) Justifique por que o esforço cortante exercido pelo fluido sobre o disco inferior deve ser designado por tauz theta.
(b) Calcule a distribuição de tauz theta(r) na superfície do disco inferior.
(c) Faça as considerações e apresente a equação da viscosidade medida no reômetro.
Instruções: Responda de forma clara, com justificativas físicas e matemáticas sempre que possível. A entrega deve ser manuscrita ou digitada com todos os cálculos devidamente organizados.

Passo 1

O enunciado trata de um fluido confinado num furo entre dois discos coaxiais separados por uma distância h, onde o disco superior gira com velocidade angular Omega e o disco inferior está parado. O fluido exerce sobre o disco inferior um esforço cortante que devemos (a) justificar sua notação, (b) calcular a distribuição tauztheta(r) em função do raio r e (c), a partir da medição do torque no disco, obter a expressão da viscosidade aparente.

Passo 2

Para nomear o componente de tensão utilizamos a convenção de tensores: o primeiro índice indica a direção normal à superfície onde a tensão age e o segundo índice indica a direção da componente da força. No nosso caso a superfície do disco é normal à direção axial z e a força tangencial está na direção azimutal theta. Por isso chamamos esse esforço de
tauztheta,
isto é, componente theta da tensão sobre o plano normal a z.

Passo 3

Em escoamento de Couette entre discos, a velocidade tangencial do fluido varia linearmente com z. Num ponto de raio r e altura z temos
utheta(r,z)=Omega,r;zh,
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partial uthetapartial z=Omega,rh
Pela lei de Newton para fluidos newtonianos, a tensão cortante é
tauztheta(r)=mu,partial uthetapartial z =mu,Omega,rh

Passo 4

O torque total M medido no disco é dado pela integral do momento de cada força de cisalhamento:
M=integral0^Rl[tauztheta(r)r];(2pi r,dr);times r =;2pimuOmegahintegral0^Rr^3,dr =pi,mu,Omega,R^42,h
Isolando a viscosidade aparente mu, obtemos
mu=2,M,hpi,Omega,R^4

Resposta

(a) O índice z indica o plano normal à direção axial e o índice theta indica a componente tangencial, logo o esforço é tauztheta.
(b)
tauztheta(r)=mu,Omega,rh
(c) A equação da viscosidade medida no reômetro é
mu=2,M,hpi,Omega,R^4

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