Uma placa de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,20 % é exposta a 1200 K por 3600 s a um gas com concentração na superficie do aço de 0,5 % de carbono. Encontrar a concentração de carbono para z=0,1 mm, 0,2 mm e 0,4 mm. A difusividade do carbono no aço é 1 x 10^-11 m^2 / s a 1200 K (0,416,0,335 e 0,2 %)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,20% que foi exposta a uma temperatura de 1200 K por 3600 segundos (ou seja, uma hora) em um gás com concentração de carbono na superfície de 0,5%. O que a gente precisa descobrir é a concentração de carbono em três profundidades diferentes da placa: 0,1 mm, 0,2 mm e 0,4 mm. Para isso, vamos usar conceitos de difusão, que é como o carbono se espalha dentro do aço ao longo do tempo. A fórmula principal que vamos precisar é a da função de erro complementar, que nos ajuda a calcular como a concentração varia com a profundidade e o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve a difusão de uma substância em um sólido quando temos uma concentração na superfície diferente da concentração inicial no interior. A fórmula é:
C(z, t) = Ci + (C0 - Ci) cdot erfc(z2raizDt)
Onde:
  • $ C(z, t) $ é a concentração no ponto z e no tempo t.
  • $ C_i $ é a concentração inicial no interior da placa.
  • $ C_0 $ é a concentração na superfície.
  • $ D $ é a difusividade do carbono no aço.
  • $ erfc $ é a função de erro complementar.
  • $ z $ é a profundidade na placa.
  • $ t $ é o tempo de exposição.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ C_i = 0,20% $
  • $ C_0 = 0,5% $
  • $ D = 1 \times 10^{-11} , m^2/s $
  • $ t = 3600 , s $
Agora, precisamos calcular para cada profundidade $ z $ (0,1 mm, 0,2 mm e 0,4 mm). Antes de tudo, vamos converter as profundidades de milímetros para metros:
  • $ 0,1 , mm = 0,0001 , m $
  • $ 0,2 , mm = 0,0002 , m $
  • $ 0,4 , mm = 0,0004 , m $

Passo 4

Vamos calcular o termo dentro da função de erro complementar para cada profundidade:
a = z2raizDt
Calculando:
raizDt = raiz1 times 10^-11 , m^2/s times 3600 , s = raiz3,6 times 10^-8 approx 6 times 10^-4 , m
Então,
a = z2 times 6 times 10^-4 = z1,2 times 10^-3
Para cada $ z $:
  • Para 0,1 mm (0,0001 m):
    z
  • Para 0,2 mm (0,0002 m):
    a = 0,00010,0012 approx 0,0833
  • Para 0,4 mm (0,0004 m):
    a = 0,00020,0012 approx 0,1667

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da função de erro complementar $ erfc(a) $ para encontrar os valores correspondentes a cada $ a $:
  • Para a = 0,0833:
    erfc(a)
  • Para a = 0,1667:
    a
  • Para a = 0,3333:
    erfc(0,0833) approx 0,916

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da concentração:
C(z, t) = 0,20% + (0,5% - 0,20%) times erfc(a)
C(z, t) = 0,20% + 0,30% times erfc(a)
Calculando para cada profundidade:
  • Para z = 0,1 mm:
    C = 0,20% + 0,30% times 0,916
    C approx 0,20% + 0,275% = 0,475%
  • Para z = 0,2 mm:
    C = 0,20% + 0,30% times 0,866
    C approx 0,20% + 0,2598% = 0,4598%
  • Para z = 0,4 mm:
    C = 0,20% + 0,30% times 0,662
    C approx 0,20% + 0,1986% = 0,3986%

Resposta

A concentração de carbono na placa de aço após 3600 segundos é aproximadamente:
  • 0,1 mm: 0,475%
  • 0,2 mm: 0,460%
  • 0,4 mm: 0,399%

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