Uma placa de aço com uma concentração inicial de carbono de
é exposta a 1200 K por 3600 s a um gas com concentração na superficie do aço de
de carbono. Encontrar a concentração de carbono para
e
. A difusividade do carbono no aço é
a
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,20% que foi exposta a uma temperatura de 1200 K por 3600 segundos (ou seja, uma hora) em um gás com concentração de carbono na superfície de 0,5%. O que a gente precisa descobrir é a concentração de carbono em três profundidades diferentes da placa: 0,1 mm, 0,2 mm e 0,4 mm. Para isso, vamos usar conceitos de difusão, que é como o carbono se espalha dentro do aço ao longo do tempo. A fórmula principal que vamos precisar é a da função de erro complementar, que nos ajuda a calcular como a concentração varia com a profundidade e o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve a difusão de uma substância em um sólido quando temos uma concentração na superfície diferente da concentração inicial no interior. A fórmula é:
Onde:
- $ C(z, t) $ é a concentração no ponto z e no tempo t.
- $ C_i $ é a concentração inicial no interior da placa.
- $ C_0 $ é a concentração na superfície.
- $ D $ é a difusividade do carbono no aço.
- $ erfc $ é a função de erro complementar.
- $ z $ é a profundidade na placa.
- $ t $ é o tempo de exposição.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ C_i = 0,20% $
- $ C_0 = 0,5% $
- $ D = 1 \times 10^{-11} , m^2/s $
- $ t = 3600 , s $
Agora, precisamos calcular para cada profundidade $ z $ (0,1 mm, 0,2 mm e 0,4 mm). Antes de tudo, vamos converter as profundidades de milímetros para metros:
- $ 0,1 , mm = 0,0001 , m $
- $ 0,2 , mm = 0,0002 , m $
- $ 0,4 , mm = 0,0004 , m $
Passo 4
Vamos calcular o termo dentro da função de erro complementar para cada profundidade:
Calculando:
Então,
Para cada $ z $:
-
Para 0,1 mm (0,0001 m):
-
Para 0,2 mm (0,0002 m):
-
Para 0,4 mm (0,0004 m):
Passo 5
Agora, vamos usar a tabela da função de erro complementar $ erfc(a) $ para encontrar os valores correspondentes a cada $ a $:
-
Para a = 0,0833:
-
Para a = 0,1667:
-
Para a = 0,3333:
Passo 6
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da concentração:
Calculando para cada profundidade:
-
Para z = 0,1 mm:
-
Para z = 0,2 mm:
-
Para z = 0,4 mm:
Resposta
A concentração de carbono na placa de aço após 3600 segundos é aproximadamente:
- 0,1 mm: 0,475%
- 0,2 mm: 0,460%
- 0,4 mm: 0,399%