A densidade do alumínio é 2692 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} a 20^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual é a massa de uma esfera de alumínio cujo raio é 25 mm ? (b) Qual é a massa dessa esfera a 100^{\circ} \mathrm{C} ? (c) Qual é a densidade do alumínio a 100{ }^{\circ} \mathrm{C} ? ( \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} )

Passo 1

O enunciado dá:
\text{densidade do alumínio a }20^\circ\mathrm{C}:\\ \rho_{20}=2692\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3í
\text{raio da esfera: }r_0=25\\ \mathrm{mm}
\text{coeficiente de expansão linear do alumínio: }\alpha_{\mathrm{Al}}=2{,}4\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ãí
As perguntas são:
(a) Qual é a massa da esfera a 20^\circ\mathrm{C}?
(b) Qual é a massa dessa esfera a 100^\circ\mathrm{C}?
(c) Qual é a densidade do alumínio a 100^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Converter unidades e lembrar fórmulas úteis.
Converter o raio para metros:
r_0=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}.
Fórmula do volume de uma esfera (essa você deve decorar):
V=\frac{4}{3}\pi r^3,
onde V é o volume em metros cúbicos e r é o raio em metros.
Fórmula da massa em termos de densidade:
m=\rho V,
onde m é a massa (kg), \rho é a densidade (kg/m ^3) e V é o volume (m ^3).

Passo 3

Calcular o volume da esfera a 20^\circ\mathrm{C}.
Primeiro calcule r_0^3:
r_0^3=(0,025)^3=0,000015625=1{,}5625\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Agora o volume:
V_{20}=\frac{4}{3}\pi r_0^3=\frac{4}{3}\pi\left(1{,}5625\times 10^{-5}\right).
Fazendo as contas:
V_{20}=2{,}083333\ldots\times10^{-5}\pi\approx 6{,}54499\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular a massa a 20^\circ\mathrm{C} usando m=\rho V.
m_{20}=\rho_{20}V_{20}=2692\times 6{,}54499\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg}.
Multiplicando:
m_{20}\approx 0{,}1762\\ \mathrm{kg}=176{,}2\\ \mathrm{g}.
Explicação curta: o resultado vem de multiplicar a densidade (kg/m ^3) pelo volume (m ^3), dando kg. Anota aí: a massa não depende da temperatura, em geral, a menos que haja perda de matéria.

Passo 5

Responder (b): massa a 100^\circ\mathrm{C}.
Importante conceito: ao aquecer uma peça sólida sem perda de material, a massa permanece a mesma — apenas o volume muda. Portanto,
m_{100}=m_{20}\approx 0{,}1762\\ \mathrm{kg}.
Isso é porque aquecimento causa expansão térmica (mudança de volume) mas não cria nem destrói massa.

Passo 6

Como calcular a densidade a 100^\circ\mathrm{C}.
Relação básica:
\rho=\frac{m}{V}.
A massa m já sabemos; precisamos do volume a 100^\circ\mathrm{C}. Para sólidos isotrópicos, o coeficiente volumétrico de expansão térmica \beta é aproximadamente 3\alpha, onde \alpha é o coeficiente linear. Isso acontece porque o comprimento em cada direção cresce por (1+\alpha\Delta T) e o volume por (1+\alpha\Delta T)^3\approx 1+3\alpha\Delta T para \alpha\Delta T pequeno. Aqui \Delta T=100-20=80\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular o aumento volumétrico e o volume a 100^\circ\mathrm{C}.
\beta\approx 3\alpha=3\times 2{,}4\times10^{-5}=7{,}2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Fator de aumento do volume:
1+\beta\Delta T=1+3\alpha\Delta T=1+7{,}2\times10^{-5}\times 80.
Calcule 3\alpha\Delta T:
3\alpha\Delta T = 3\times 2{,}4\times10^{-5}\times 80 = 5{,}76\times10^{-3}.
Logo
V_{100}=V_{20}\left(1+3\alpha\Delta T\right)=V_{20}\times 1{,}00576.

Passo 8

Calcular a densidade a 100^\circ\mathrm{C} usando \rho_{100}=m_{100}/V_{100}. Como m_{100}=m_{20}=\rho_{20}V_{20}, podemos escrever:
\rho_{100}=\frac{\rho_{20}V_{20}}{V_{20}(1+3\alpha\Delta T)}=\frac{\rho_{20}}{1+3\alpha\Delta T}.
Substituindo valores:
\rho_{100}=\frac{2692}{1{,}00576}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Fazendo a divisão:
\rho_{100}\approx 2676{,}6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Interpretação: a densidade diminuiu um pouco (cerca de 0{,}576\%) porque o volume aumentou com o aquecimento enquanto a massa permaneceu constante.

Resposta

m_{20}\approx 0,1762\\ \mathrm{kg}
m_{100}\approx 0,1762\\ \mathrm{kg}
\rho_{100}\approx 2676{,}6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3

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