O calor específico do cromo é dado, em boa aproximação, por:
c_{p}=5,4+0,0024 \mathrm{~T}-0,44 \times 10^{5} \mathrm{~T}^{-2}(\mathrm{cal} / \mathrm{g} . \mathrm{K})
Calcule o calor necessário para aquecer meio Kg de cromo desde 294 K até 476 K .

Passo 1

O enunciado dá a capacidade térmica em função da temperatura e pede o calor necessário para aquecer uma certa massa. Dados e pedido, claramente listados:
c_{p}(T)=5,4+0,0024\,T-0,44\times10^{5}\,T^{-2}\quad\left(\mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}\right)
  • Massa: \,0,5\\ \mathrm{kg}. Vou converter para gramas porque c_{p} está em \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}:
0,5\\ \mathrm{kg} = 500\\ \mathrm{g}.
  • Temperaturas inicial e final:
T_{1}=294\\ \mathrm{K},\qquad T_{2}=476\\ \mathrm{K}.
  • Pedido: calcular o calor Q necessário para aquecer os 500\\ \mathrm{g} de cromo de T_{1} até T_{2}.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O calor diferencial recebido por uma amostra de massa m quando sua temperatura aumenta de T para T+dT é
dQ = m\,c_{p}(T)\,dT,
onde c_{p}(T) é o calor específico por unidade de massa (aqui em \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}). Essa fórmula vem da definição de calor específico: c_{p}=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}.
  • Para obter o calor total entre T_{1} e T_{2} integramos:
Q = m\int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{p}(T)\,dT.
Vou aplicar essa fórmula com m=500\\ \mathrm{g} e o c_{p}(T) dado.

Passo 3

Montagem do integral com a expressão dada para c_{p}(T):
Q = 500\int_{294}^{476}\left(5,4+0,0024\,T-0,44\times10^{5}\,T^{-2}\right)dT.
Explico: integrando termo a termo, cada pedaço tem uma antiderivada simples — vou mostrar passo a passo.

Passo 4

Antiderivadas de cada termo (relembrando as regras básicas de integração):
  • Regra 1: \displaystyle \int a\,dT = aT para constante a.
  • Regra 2: \displaystyle \int T\,dT=\tfrac{1}{2}T^{2}.
  • Regra 3: \displaystyle \int T^{-2}\,dT = \int \frac{1}{T^{2}}\,dT = -T^{-1} (porque a potência cai 1 e divide pelo novo expoente).
Aplicando às parcelas:
\int\left(5,4+0,0024\,T-0,44\times10^{5}\,T^{-2}\right)dT = 5,4\,T + 0,0024\cdot\frac{T^{2}}{2} -0,44\times10^{5}\cdot(-T^{-1}) + C.
Note o sinal: como \int T^{-2}dT=-T^{-1}, e o termo original tem menos um sinal, o resultado fica com sinal positivo no terceiro termo. Assim, simplificando:
\int c_{p}(T)\,dT = 5,4\,T + 0,0012\,T^{2} + 0,44\times10^{5}\,\frac{1}{T} + C.

Passo 5

Agora aplico os limites de integração T_{1}=294 e T_{2}=476. Primeiro obtenho a variação da primitiva:
\Delta = \left[5,4\,T + 0,0012\,T^{2} + 44000\cdot\frac{1}{T}\right]_{294}^{476}.
Vou calcular cada parcela separadamente (faça na prova desse jeito para evitar erro):
  1. Parcela constante:
5,4\,(T_{2}-T_{1}) = 5,4\cdot(476-294)=5,4\cdot182=982,8\\ \mathrm{(cal/g)}.
  1. Parcela quadrática:
0,0012\,(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}).
Calculo T_{2}^{2} e T_{1}^{2}:
476^{2}=226576,\qquad 294^{2}=86436,
T_{2}^{2}-T_{1}^{2}=226576-86436=140140.
Então
0,0012\cdot140140=168,168\\ \mathrm{(cal/g)}.
  1. Parcela com 1/T:
44000\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right).
Calculo os recíprocos:
\frac{1}{476}\approx0,002100840,\qquad \frac{1}{294}\approx0,003401361.
Diferença:
\frac{1}{476}-\frac{1}{294}\approx -0,001300520.
Multiplicando por 44000:
44000\cdot(-0,001300520)\approx -57,2229\\ \mathrm{(cal/g)}.
Observação rápida: o terceiro termo fica negativo no resultado final porque o 1/T decresce quando T aumenta; isso é consistente com os sinais que vimos.

Passo 6

Somando as três parcelas para obter o calor por grama (energia necessária por grama):
Q_{\text{por g}} = 982,8 + 168,168 - 57,2229 \approx 1093,7451\\ \mathrm{cal/g}.
Agora multiplico pela massa m=500\\ \mathrm{g}:
Q = 500\cdot1093,7451 \approx 546872,55\\ \mathrm{cal}.
Se quiser converter para joules (opcional: aprender a converter), use 1\\ \mathrm{cal}\approx4,184\\ \mathrm{J}:
Q \approx 546872,55\cdot4,184 \approx 2{,}287\times10^{6}\\ \mathrm{J}\\ ( \text{aprox.} ).

Resposta

Q = 5,4687255\times10^{5}\\ \mathrm{cal}

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