O calor específico do cromo é dado, em boa aproximação, por:
Calcule o calor necessário para aquecer meio Kg de cromo desde 294 K até 476 K .
Passo 1
O enunciado dá a capacidade térmica em função da temperatura e pede o calor necessário para aquecer uma certa massa. Dados e pedido, claramente listados:
- Massa:
. Vou converter para gramas porque está em :
- Temperaturas inicial e final:
- Pedido: calcular o calor
necessário para aquecer os de cromo de até .
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O calor diferencial recebido por uma amostra de massa
quando sua temperatura aumenta de para é
onde
é o calor específico por unidade de massa (aqui em
). Essa fórmula vem da definição de calor específico:
.
- Para obter o calor total entre
e integramos:
Vou aplicar essa fórmula com
e o
dado.
Passo 3
Montagem do integral com a expressão dada para
:
Explico: integrando termo a termo, cada pedaço tem uma antiderivada simples — vou mostrar passo a passo.
Passo 4
Antiderivadas de cada termo (relembrando as regras básicas de integração):
- Regra 1:
para constante . - Regra 2:
. - Regra 3:
(porque a potência cai 1 e divide pelo novo expoente).
Aplicando às parcelas:
Note o sinal: como
, e o termo original tem menos um sinal, o resultado fica com sinal positivo no terceiro termo. Assim, simplificando:
Passo 5
Agora aplico os limites de integração
e
. Primeiro obtenho a variação da primitiva:
Vou calcular cada parcela separadamente (faça na prova desse jeito para evitar erro):
- Parcela constante:
- Parcela quadrática:
Calculo
e
:
Então
- Parcela com
:
Calculo os recíprocos:
Diferença:
Multiplicando por
:
Observação rápida: o terceiro termo fica negativo no resultado final porque o
decresce quando
aumenta; isso é consistente com os sinais que vimos.
Passo 6
Somando as três parcelas para obter o calor por grama (energia necessária por grama):
Agora multiplico pela massa
:
Se quiser converter para joules (opcional: aprender a converter), use
: