No espa, co V das matrizes reais 2 \times 2 com o produto interno <A, B>=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right) determine <A, B>,\|A\|,\|B\|, d(A, B), o cosseno do angulo entre A e B sendo:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos coloca em V, o espaço das matrizes reais 2\times2 com produto interno
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(B^tA).
Dadas
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
precisamos calcular \langle A,B\rangle, \|A\|, \|B\|, d(A,B) e o cosseno do ângulo entre A e B.

Passo 2

Calculamos o produto interno
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(B^tA).
Como B^t=B,
B^tA =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
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\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\!\bigl(\begin{smallmatrix}1&1\\\ 0&0\end{smallmatrix}\bigr) =1+0=1.

Passo 3

Para \|A\| usamos
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{\operatorname{tr}(A^tA)}.
Temos
A^t =\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}, \quad A^tA =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&2\end{pmatrix},
então
\operatorname{tr}(A^tA)=1+2=3,
e
\|A\|=\sqrt{3}.

Passo 4

Para \|B\| fazemos
\|B\| = \sqrt{\operatorname{tr}(B^tB)} = \sqrt{\operatorname{tr}(B^2)}.
Como B^2=B,
\operatorname{tr}(B^2)=\operatorname{tr}\!\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 0&0\end{smallmatrix}\bigr)=1,
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\|B\|=1.

Passo 5

A distância é
d(A,B)=\|A-B\|.
Calculando
A-B =\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad (A-B)^t(A-B) =\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&2\end{pmatrix},
então
\|A-B\|=\sqrt{\operatorname{tr}((A-B)^t(A-B))}=\sqrt{2}.

Passo 6

O cosseno do ângulo \theta entre A e B é
\cos\theta = \frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\;\|B\|} = \frac{1}{\sqrt{3}\cdot1} =\frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

\langle A,B\rangle = 1 \|A\| = \sqrt{3} \|B\| = 1 d(A,B) = \sqrt{2} \cos\theta = \tfrac{1}{\sqrt{3}}

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