No espac, o euclidiano \mathrm{R}^{3} sejam u=(1,-1,0) e v=(2,-1,2). Determinar: \langle u, v\rangle,\|u\|,\|v\|, d(u, v), o cosseno do angulo entre u e v, e o normalizado de u+v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,-1,0) e \,v=(2,-1,2) em \mathbb{R}^3 e pede:
– o produto interno \langle u,v\rangle,
– as normas \|u\| e \|v\|,
– a distância d(u,v),
– o cosseno do ângulo entre u e v,
– o vetor unitário (normalizado) de u+v.
Vamos usar as fórmulas do espaço euclidiano: \langle x,y\rangle=\sum_i x_i y_i, \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}, d(x,y)=\|x-y\|, \cos\theta=\langle x,y\rangle/(\|x\|\|y\|), e w/\|w\| para normalizar w.

Passo 2

Calculamos o produto interno
\langle u,v\rangle =1\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot2 =2 + 1 + 0 =3.

Passo 3

Agora as normas:
\|u\| =\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} =\sqrt{1+1+0} =\sqrt{2},
\|v\| =\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.

Passo 4

Para a distância, primeiro u - v = (1-2,\,-1+1,\,0-2)=(-1,0,-2), então
d(u,v) =\|u-v\| =\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-2)^2} =\sqrt{1+0+4} =\sqrt{5}.

Passo 5

O cosseno do ângulo entre u e v é
\cos\theta =\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|} =\frac{3}{\sqrt{2}\;\cdot 3} =\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Finalmente, para normalizar u+v, temos
u+v=(1+2,\,-1-1,\,0+2)=(3,-2,2),
\|u+v\| =\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} =\sqrt{9+4+4} =\sqrt{17}.
O vetor unitário é
\frac{u+v}{\|u+v\|} =\frac{1}{\sqrt{17}}\,(3,-2,2).

Resposta

\langle u,v\rangle = 3 \|u\| = \sqrt{2} \|v\| = 3 d(u,v) = \sqrt{5} \displaystyle \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
Vetor unitário de u+v: \displaystyle \frac{1}{\sqrt{17}}\,(3,-2,2)

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