No espa, co V das matrizes reais 2 \times 3 com o produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right). Determine \langle A, B\rangle,\|A\|,\|B\|, as normalizadas de A e de B sendo:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 5 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado considera o espaço V de todas as matrizes reais 2\times3 com o produto interno definido por
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl(B^tA\bigr),
que coincide com a soma dos produtos termo a termo:
\langle A,B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}B_{ij}.
Queremos calcular \langle A,B\rangle, as normas \|A\| e \|B\|, e, por fim, as matrizes normalizadas A/\|A\| e B/\|B\|, onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\\\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 2

Para \langle A,B\rangle somamos cada entrada de A multiplicada pela correspondente de B:
\langle A,B\rangle =1\cdot0 + 3\cdot2 + (-1)\cdot1 + 2\cdot(-1) + 0\cdot3 + 5\cdot0 =0 + 6 -1 -2 + 0 + 0 =3.

Passo 3

A norma de A é \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}. Como
\langle A,A\rangle =1^2 + 3^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2 + 5^2 =1 + 9 + 1 + 4 + 0 + 25 =40,
temos
\|A\| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.

Passo 4

Anologamente,
\langle B,B\rangle =0^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2 + 3^2 + 0^2 =0 + 4 + 1 + 1 + 9 + 0 =15,
logo
\|B\| = \sqrt{15}.

Passo 5

As matrizes normalizadas são obtidas dividindo cada entrada pela norma correspondente:
\frac{A}{\|A\|} = \frac{1}{2\sqrt{10}} \begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}, \qquad \frac{B}{\|B\|} = \frac{1}{\sqrt{15}} \begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\\ -1 & 3 & 0\end{pmatrix}.

Resposta

\langle A,B\rangle = 3 \|A\| = 2\sqrt{10} \|B\| = \sqrt{15} \displaystyle\frac{A}{\|A\|} = \frac{1}{2\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix} \displaystyle\frac{B}{\|B\|} = \frac{1}{\sqrt{15}}\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\\ -1 & 3 & 0\end{pmatrix}

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