No espa, co V das matrizes reais 2 \times 3 com o produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right). Determine \langle A, B\rangle,\|A\|,\|B\|, as normalizadas de A e de B sendo: A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 5 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \end{array}\right] Passo 1O enunciado considera o espaço V de todas as matrizes reais 2\times3 com o produto interno definido por \langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl(B^tA\bigr), que coincide com a soma dos produtos termo a termo: \langle A,B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}B_{ij}. Queremos calcular \langle A,B\rangle, as normas \|A\| e \|B\|, e, por fim, as matrizes normalizadas A/\|A\| e B/\|B\|, onde A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\\\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}. Passo 2Para \langle A,B\rangle somamos cada entrada de A multiplicada pela correspondente de B: \langle A,B\rangle =1\cdot0 + 3\cdot2 + (-1)\cdot1 + 2\cdot(-1) + 0\cdot3 + 5\cdot0 =0 + 6 -1 -2 + 0 + 0 =3. Passo 3A norma de A é \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}. Como \langle A,A\rangle =1^2 + 3^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2 + 5^2 =1 + 9 + 1 + 4 + 0 + 25 =40, temos \|A\| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}. Passo 4Anologamente, \langle B,B\rangle =0^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2 + 3^2 + 0^2 =0 + 4 + 1 + 1 + 9 + 0 =15, logo \|B\| = \sqrt{15}. Passo 5As matrizes normalizadas são obtidas dividindo cada entrada pela norma correspondente: \frac{A}{\|A\|} = \frac{1}{2\sqrt{10}} \begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}, \qquad \frac{B}{\|B\|} = \frac{1}{\sqrt{15}} \begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\\ -1 & 3 & 0\end{pmatrix}. Resposta \langle A,B\rangle = 3 \|A\| = 2\sqrt{10} \|B\| = \sqrt{15} \displaystyle\frac{A}{\|A\|} = \frac{1}{2\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1 & 3 & -1\\\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix} \displaystyle\frac{B}{\|B\|} = \frac{1}{\sqrt{15}}\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\\ -1 & 3 & 0\end{pmatrix} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNo espac, o euclidiano \mathrm{R}^{3} sejam u=(1,-1,0) e v=(2,-1,2). Determinar: \langle u, v\rangle,\|u\|,\|v\|, d(u, v), o cosseno do angulo entre u e v, e o normalizado de u+v. Considere o espac,o P_{2}(\mathrm{R}) com o produto interno \quad\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{o}^{1} f(t) g(t) d t Dados f(t)=t+2, g(t)=3 t-2 e h(t)=t^{2} determine \langle f, g\rangle,\langle f, h\rangle,\|g\|,\|h\|, os normalizados de g e de h, d(f, g), d(f, h). No espa, co V das matrizes reais 2 \times 2 com o produto interno <A, B>=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right) determine <A, B>,\|A\|,\|B\|, d(A, B), o cosseno do angulo entre A e B sendo: A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] Sejam u=1+t e v=t+2 t^{2} no espa, co P_{2}(\mathrm{R}). Determine q em P_{2}(\mathrm{R}) tal que \|q\|=1 \mathrm{e}\langle u, q\rangle=\langle v, q\rangle=0, em rela,c̃ao ao produto interno usual.