Sejam u=1+t e v=t+2 t^{2} no espa, co P_{2}(\mathrm{R}). Determine q em P_{2}(\mathrm{R}) tal que \|q\|=1 \mathrm{e}\langle u, q\rangle=\langle v, q\rangle=0, em rela,c̃ao ao produto interno usual.

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
u(t)=1+t,\quad v(t)=t+2t^2
no espaço P_2(\mathbb{R}) com o produto interno “usual” em que, se
p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2,\quad q(t)=b_0+b_1t+b_2t^2,
então
\langle p,q\rangle = a_0b_0 + a_1b_1 + a_2b_2.
Queremos encontrar q\in P_2(\mathbb{R}) tal que \|q\|=1 e \langle u,q\rangle=0,\;\langle v,q\rangle=0.
Para isso faremos uma busca de vetor ortogonal a u e v e depois o normalizaremos.

Passo 2

Escrevemos u e v como vetores de coeficientes em \mathbb{R}^3:
u\equiv(1,1,0),\quad v\equiv(0,1,2),
e buscamos w=(a,b,c) satisfazendo
\langle w,u\rangle = a\cdot1 + b\cdot1 + c\cdot0 = a+b = 0,
\langle w,v\rangle = a\cdot0 + b\cdot1 + c\cdot2 = b + 2c = 0.
Dessas equações obtemos b=-2c e a=-b=2c. Tomando c=1 escolhemos
w = (2,\,-2,\,1),
que é ortogonal a u e v.

Passo 3

Calculamos a norma de w:
\|w\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3.
Para obter q com \|q\|=1 basta normalizar w:
q = \frac{w}{\|w\|} = \Bigl(\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).
Em forma de polinômio,
q(t) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\,t + \frac{1}{3}\,t^2.

Resposta

q(t) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\,t + \frac{1}{3}\,t^2.

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