Determine bases ortonormais em relação ao produto escalar em \mathbb{R}^{n}, para o subespaço W de V :
V=\mathbb{R}^{4}, \quad W_{3}=\left\{\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} / x+y-2 z-2 w=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
W_{3}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+y-2z-2w=0\}
no produto escalar padrão de \mathbb{R}^4. Vamos primeiro encontrar uma base qualquer de W_{3} resolvendo a equação linear, e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Da condição
x+y-2z-2w=0
segue x=-y+2z+2w. Assim
(x,y,z,w) = y(-1,1,0,0) \;+\; z(2,0,1,0) \;+\; w(2,0,0,1).
Logo uma base de W_{3} é
v_{1}=(-1,1,0,0),\quad v_{2}=(2,0,1,0),\quad v_{3}=(2,0,0,1).

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt, definimos
u_{1}=v_{1}=(-1,1,0,0), \qquad \|u_{1}\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},
e portanto
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-1,1,0,0).

Passo 4

Projeta-mos v_{2} sobre e_{1}:
\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =(v_{2}\cdot e_{1})\,e_{1} =\Bigl((2,0,1,0)\cdot\frac{1}{\sqrt2}(-1,1,0,0)\Bigr)e_{1} =-\sqrt2\,e_{1} =(1,-1,0,0).
Então
u_{2}=v_{2}-\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =(2,0,1,0)-(1,-1,0,0) =(1,1,1,0),
com \|u_{2}\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3, e
e_{2}=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1,0).

Passo 5

Projeta-mos v_{3} sobre e_{1} e e_{2}. Primeiro
\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{3}) =(v_{3}\cdot e_{1})\,e_{1} =\Bigl((2,0,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt2}(-1,1,0,0)\Bigr)e_{1} =-\sqrt2\,e_{1} =(1,-1,0,0).
Depois
\mathrm{proj}_{e_{2}}(v_{3}) =(v_{3}\cdot e_{2})\,e_{2} =\Bigl((2,0,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1,0)\Bigr)e_{2} =\frac{2}{3}(1,1,1,0).
Logo
u_{3} =v_{3}-\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{3})-\mathrm{proj}_{e_{2}}(v_{3}) =(2,0,0,1)-(1,-1,0,0)-\tfrac23(1,1,1,0) =(\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac23,1).
Para evitar frações escolhemos u_{3}'=(1,1,-2,3), cujo comprimento é
\|u_{3}'\|=\sqrt{1+1+4+9}=\sqrt{15}. Assim
e_{3}=\frac{1}{\sqrt{15}}(1,1,-2,3).

Resposta

e_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0,0),\quad e_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1,0),\quad e_{3}=\frac{1}{\sqrt{15}}(1,1,-2,3).

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