As massas específicas e porcentagens de cristalinidade associadas a dois materiais de polipropileno são as seguintes:
\boldsymbol{\rho}\left(\mathbf{g} / \mathbf{c m}^{\mathbf{3}}\right) Cristalinidade (%)
0,904 62,8
0,895 54,4
a) Calcule as massas específicas do polímero totalmente cristalino e totalmente amorfo.
b) Determine a massa específica de uma amostra com cristalinidade de 74,6 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras de polipropileno com densidades e frações de cristalinidade conhecidas. Queremos encontrar as densidades do polímero totalmente cristalino \rho_{c} e totalmente amorfo \rho_{a}, sabendo que a densidade observada segue a regra das misturas:
\rho = X_{c}\,\rho_{c} + (1 - X_{c})\,\rho_{a},
onde X_{c} é a fração de material cristalino (a cristalinidade em decimal).

Passo 2

Transformamos as porcentagens de cristalinidade em frações decimais e escrevemos o sistema linear:
\begin{cases} 0{,}904 = 0{,}628\,\rho_{c} + 0{,}372\,\rho_{a},\\\\ 0{,}895 = 0{,}544\,\rho_{c} + 0{,}456\,\rho_{a}. \end{cases}

Passo 3

Para eliminar \rho_{a}\), multiplicamos a primeira equação por \(0{,}456\) e a segunda por \(0{,}372\): \[\begin{aligned} 0{,}456\!\times(0{,}904)&=0{,}456\cdot0{,}628\,\rho_{c}+0{,}456\cdot0{,}372\,\rho_{a},\\\\ 0{,}372\!\times(0{,}895)&=0{,}372\cdot0{,}544\,\rho_{c}+0{,}372\cdot0{,}456\,\rho_{a}. \end{aligned}
Isso dá
\begin{cases} 0{,}412224 = 0{,}286368\,\rho_{c} + 0{,}169632\,\rho_{a},\\\\ 0{,}332940 = 0{,}202368\,\rho_{c} + 0{,}169632\,\rho_{a}. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira, eliminamos (\rho_{a}]:
0{,}084000\,\rho_{c} = 0{,}079284 \quad\Longrightarrow\quad \rho_{c} = \frac{0{,}079284}{0{,}084000} = 0{,}944\\ \text{g/cm}^3.

Passo 4

Substituímos \rho_{c}=0{,}944 na primeira equação original para achar \rho_{a}:
0{,}904 = 0{,}628\cdot0{,}944 + 0{,}372\,\rho_{a} \quad\Longrightarrow\quad 0{,}372\,\rho_{a} = 0{,}904 - 0{,}592832 = 0{,}311168
\rho_{a} = \frac{0{,}311168}{0{,}372} = 0{,}836\\ \text{g/cm}^3.

Passo 5

Para responder b), usamos agora X_{c}=0{,}746 na regra das misturas:
\rho = 0{,}746\cdot0{,}944 + (1 - 0{,}746)\cdot0{,}836 = 0{,}746\cdot0{,}944 + 0{,}254\cdot0{,}836 = 0{,}9166\approx0{,}917\\ \text{g/cm}^3.

Resposta

(a) \rho_{c}=0{,}944\\ \text{g/cm}^3 e \rho_{a}=0{,}836\\ \text{g/cm}^3.
(b) Para 74{,}6\% de cristalinidade, \rho\approx0{,}917\\ \text{g/cm}^3.

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