As massas específicas e porcentagens de cristalinidade associadas a dois materiais de poli(tereftalato de etileno) são as seguintes:
\boldsymbol{\rho}\left(\mathbf{g} / \mathbf{c m}^{\mathbf{3}}\right) Cristalinidade (%)
1,408 74,3
1,343 31,2
a) Calcule as massas específicas do polímero totalmente cristalino e totalmente amorfo.
b) Determine a porcentagem de cristalinidade de uma amostra que tem a massa específica igual a 1,382 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas medidas de massa específica de PET em função da porcentagem de cristalização e pede duas coisas:
  • (a) as massas específicas de um PET totalmente cristalino 100\% e totalmente amorfo 0\%;
  • (b) a porcentagem de cristalização de uma amostra cuja massa específica é \,1,382\\ \mathrm{g/cm^3}.
    O conteúdo que vamos usar é a regra de mistura linear: a massa específica aparente \rho do polímero é dada por
\rho \;=\; x\,\rho_c \;+\;(1 - x)\,\rho_a
onde x é a fração de cristalização 0\le x\le1, \rho_c é a densidade do cristal puro e \rho_a do amorfo puro.

Passo 2

Vamos escrever o sistema linear usando os dois pontos fornecidos:
para x_1=0{,}743 e \rho_1=1{,}408:
1{,}408 \;=\; 0{,}743\,\rho_c \;+\; (1 - 0{,}743)\,\rho_a \quad\Longrightarrow\quad 1{,}408 = 0{,}743\,\rho_c + 0{,}257\,\rho_a
para x_2=0{,}312 e \rho_2=1{,}343:
1{,}343 = 0{,}312\,\rho_c + (1 - 0{,}312)\,\rho_a \quad\Longrightarrow\quad 1{,}343 = 0{,}312\,\rho_c + 0{,}688\,\rho_a

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 1{,}408 = 0{,}743\,\rho_c + 0{,}257\,\rho_a,\\[6pt] 1{,}343 = 0{,}312\,\rho_c + 0{,}688\,\rho_a, \end{cases}
podemos, por exemplo, eliminar \rho_a. A conta deixa
\rho_c \approx 1{,}448\\ \mathrm{g/cm^3}, \qquad \rho_a \approx 1{,}295\\ \mathrm{g/cm^3}.]

Passo 4

Para a amostra com \rho=1{,}382\\ \mathrm{g/cm^3}, aplicamos
1{,}382 = x\,\bigl(1{,}448\bigr) + (1 - x)\,\bigl(1{,}295\bigr).
Isolando x:
x = \frac{1{,}382 - 1{,}295}{1{,}448 - 1{,}295} \approx \frac{0{,}087}{0{,}153} \approx 0{,}569.
Convertendo em porcentagem, a cristalização é cerca de 56{,}9\%.

Resposta

(a) \rho_c = 1{,}448\\ \mathrm{g/cm^3}, \rho_a = 1{,}295\\ \mathrm{g/cm^3}.
(b) Cristalinidade \approx 56{,}9\%.

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