No espaço um astronauta com a massa 90 Kg está segurando uma caixa de 15 kg . Acidentalmente o cabo que prende o astronauta à espaçonave se rompeu e ele está à 25 m de distância do ônibus espacial. Os dois corpos estão em repouso em relação a espaçonave. Considere a origem do referencial localizado sobre a superfície da espaçonave o eixo \hat{z} está perpendicular à superfície e apontando para fora. A seguir o astronauta empurra a caixa imprimindo na caixa uma velocidade de \vec{v}=15 \frac{m}{m i n} \hat{z}. Determine a velocidade que o astronauta adquire.e quanto tempo ele demora para chegar na superfície do onibus espacial. ( Note que não há o chão para usar a força de atrito para ele conseguir caminhar até o onibus espacial. Esse exercício nos ajuda a entender o mecanismo fisico da tração nas rodas e esteiras que nos permite ir para frente quando estamos no chão e o uso de jatos nos aviões e os motores de foguetes)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados:
    • Massa do astronauta: m_a = 90\\ \mathrm{kg}.
    • Massa da caixa: m_b = 15\\ \mathrm{kg}.
    • Distância inicial do astronauta até a superfície da espaçonave (origem): d = 25\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade impressa na caixa: \vec v_b = 15\\ \mathrm{m/min}\\ \hat{z}. (Notei a unidade no enunciado como \mathrm{m/min}.)
    • Referencial: origem na superfície da espaçonave, eixo \hat{z} apontando para fora da superfície.
    • Antes do empurrão, os dois corpos estavam em repouso relativo à espaçonave.
  • Perguntas:
    1. Determinar a velocidade que o astronauta adquire (vetor, com direção e sentido).
    2. Determinar quanto tempo ele demora para chegar na superfície do ônibus espacial.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática e intuitiva):
  • Em espaço, afastado de forças externas horizontais relevantes (não há atrito com chão nem força externa significativa na direção \hat{z}), o momento linear total do sistema “astronauta + caixa” é conservado.
  • Momento linear de um corpo é definido por \vec p = m \vec v, onde m é a massa e \vec v a velocidade (vetor).
  • Se o sistema estava em repouso inicialmente, o momento total inicial é \vec p_{\text{inicial}} = \vec 0. Após o empurrão, a soma dos momentos deve continuar sendo zero: m_a \vec v_a + m_b \vec v_b = \vec 0.
  • Isolando a velocidade do astronauta obtemos a relação: \vec v_a = -\frac{m_b}{m_a}\,\vec v_b.O sinal negativo indica que a velocidade do astronauta tem sentido oposto ao da caixa — ou seja, se a caixa foi empurrada para fora ( +\hat z), o astronauta recua em direção à espaçonave ( -\hat z).

Passo 3

Aplicando a fórmula e fazendo as contas (em \mathrm{m/min} primeiro):
  • Calculamos a razão de massas: \frac{m_b}{m_a} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}.
  • Assim a velocidade do astronauta em \mathrm{m/min} é \vec v_a = -\frac{1}{6}\cdot 15\\ \mathrm{m/min}\\ \hat z = -2,5\\ \mathrm{m/min}\\ \hat z.Interpretação: o astronauta desloca-se em direção à espaçonave com rapidez 2,5\\ \mathrm{m/min}.

Passo 4

Converter unidades para \mathrm{m/s} (útil para ter valor no SI e para checar):
  • Conversão: 1\\ \mathrm{min} = 60\\ \mathrm{s}. Portanto 15\\ \mathrm{m/min} = \frac{15}{60}\\ \mathrm{m/s} = 0,25\\ \mathrm{m/s},e 2,5\\ \mathrm{m/min} = \frac{2,5}{60}\\ \mathrm{m/s} = \frac{1}{24}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,041666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • Escrevendo a velocidade do astronauta no SI: \vec v_a = -\frac{1}{24}\\ \mathrm{m/s}\\ \hat z \approx -0,04167\\ \mathrm{m/s}\\ \hat z.

Passo 5

Determinar o tempo para percorrer a distância até a superfície (assumindo velocidade aproximadamente constante):
  • O astronauta está a d = 25\\ \mathrm{m} do ponto de chegada (origem) e se aproxima com velocidade escalar v_a = 2,5\\ \mathrm{m/min}.
  • Tempo em minutos: t = \frac{d}{v_a} = \frac{25\\ \mathrm{m}}{2,5\\ \mathrm{m/min}} = 10\\ \mathrm{min}.
  • Convertendo para segundos: t = 10\\ \mathrm{min} = 600\\ \mathrm{s}.
  • Observação física: usamos movimento retilíneo uniforme porque, após o empurrão, não há forças externas (nas condições ideais do enunciado) que alterem a velocidade na direção \hat z. Na prática, pequenas forças externas (campo gravitacional da espaçonave, jatos de correção, etc.) poderiam modificar um pouco o tempo, mas o problema pede o idealizado.

Passo 6

Interpretação final e conexão com a intuição:
  • O resultado mostra claramente o princípio: empurrando a caixa para fora, o astronauta ganha velocidade oposta proporcional à razão das massas. Como o astronauta é bem mais pesado que a caixa, sua velocidade é menor, mas suficiente para levá‑lo de volta, embora demore alguns minutos.
  • Essa é a mesma ideia básica da tração (deformando e empurrando algo contra o chão) e do impulso dos foguetes (ejetam massa para trás e o veículo ganha velocidade para frente) — a diferença é que aqui não existe chão, então a troca de momento foi apenas entre astronauta e caixa.

Resposta

\vec v_a = -2,5\\ \mathrm{m/min}\\ \hat z = -\dfrac{1}{24}\\ \mathrm{m/s}\\ \hat z\n
t = 10\\ \mathrm{min} = 600\\ \mathrm{s}

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