Um bloco de massa M=50 \mathrm{~kg} está com velocidade constante sobre uma superfície plana. Não há atrito entre o bloco e a superfície. Num dado instante ele explode e se separa em dois pedaços. O pedaço A tem massa 2 M / 5 e sua velocidade é \vec{v}_{A}=v_{A} \hat{x}=10 m / s \hat{x}. O pedaço B tem velocidade \vec{v}_{B}=v_{1} \sin \theta \hat{x}-v_{1} \cos \theta \hat{y}\left(v_{1}=15 m / s, \theta=\pi / 3\right.. Determine a velocidade do bloco antes de explodir.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Massa total do bloco antes da explosão: M=50\\ \mathrm{kg}.
  • O bloco explode e se separa em dois pedaços:
    • Pedaço A tem massa m_{A}=\dfrac{2M}{5} e velocidade \vec{v}_{A}=v_{A}\,\hat{x}=10\\ \mathrm{m/s}\,\hat{x}.
    • Pedaço B tem velocidade \vec{v}_{B}=v_{1}\sin\theta\,\hat{x}-v_{1}\cos\theta\,\hat{y} com v_{1}=15\\ \mathrm{m/s} e \theta=\pi/3.
  • Pergunta: determinar a velocidade do bloco antes de explodir (ou seja, \vec{v}_0, a velocidade do centro de massa do bloco antes da explosão).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): em uma explosão interna, as forças internas não alteram o momento linear total do sistema. Isso quer dizer que o momento linear total antes da explosão é igual ao momento linear total depois da explosão. Escrevendo isso em fórmula vetorial:
M\vec{v}_0 = m_A\vec{v}_A + m_B\vec{v}_B.
Aqui:
  • \vec{v}_0 é a velocidade do bloco antes da explosão (o que queremos).
  • m_A e m_B são as massas dos pedaços após a explosão.
  • \vec{v}_A e \vec{v}_B são as velocidades dos pedaços após a explosão.
Como isso é vetorial, é prático separar em componentes x e y. Assim teremos duas equações escalares:
M v_{0x} = m_A v_{Ax} + m_B v_{Bx},
M v_{0y} = m_A v_{Ay} + m_B v_{By}.
Explico: v_{0x} e v_{0y} são as componentes x e y da velocidade inicial; v_{Ax},v_{Ay} e v_{Bx},v_{By} são as componentes das velocidades dos pedaços.

Passo 3

Calcular as massas dos pedaços a partir de M:
m_A=\dfrac{2M}{5}=\dfrac{2\cdot 50}{5}=20\\ \mathrm{kg}.
A massa do pedaço B é o resto:
m_B = M - m_A = 50 - 20 = 30\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Encontrar as componentes das velocidades dadas (explicando trigonometria usada):
A velocidade do pedaço A é pura em x, logo
v_{Ax}=10\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{Ay}=0.
Para o pedaço B, foi dada a forma \vec{v}_B = v_1\sin\theta\,\hat{x} - v_1\cos\theta\,\hat{y}.
Usamos os valores \theta=\pi/3 (ou 60^\circ), portanto
\sin\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.
Substituindo v_1=15\\ \mathrm{m/s}:
v_{Bx}=15\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{15\sqrt{3}}{2}, \qquad v_{By}=-15\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{15}{2}=-7{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser aproximação numérica: v_{Bx}\approx 12{,}9904\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular os momentos lineares finais nas componentes x e y (passo a passo):
Componente x do momento total após a explosão:
p_x^{\text{final}} = m_A v_{Ax} + m_B v_{Bx} = 20\cdot 10 + 30\cdot \dfrac{15\sqrt{3}}{2}.
Calculemos os termos:
20\cdot 10 = 200,\qquad 30\cdot \dfrac{15\sqrt{3}}{2} = \dfrac{30\cdot 15}{2}\sqrt{3} = 225\sqrt{3}.
Portanto
p_x^{\text{final}} = 200 + 225\sqrt{3}\\ (\mathrm{kg\cdot m/s}).
Componente y do momento total após a explosão:
p_y^{\text{final}} = m_A v_{Ay} + m_B v_{By} = 20\cdot 0 + 30\cdot\left(-\dfrac{15}{2}\right) = -225\\ (\mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 6

Usar conservação do momento para obter as componentes da velocidade inicial dividindo pelos M:
Componente x:
v_{0x}=\dfrac{p_x^{\text{final}}}{M}=\dfrac{200+225\sqrt{3}}{50} =4+\dfrac{225}{50}\sqrt{3}=4+\dfrac{9}{2}\sqrt{3}.
Se quiser valor numérico:
v_{0x}\approx 4 + 4{,}5\cdot 1{,}73205 \approx 11{,}7942\\ \mathrm{m/s}.
Componente y:
v_{0y}=\dfrac{p_y^{\text{final}}}{M}=\dfrac{-225}{50}=-4{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Explicando: esses valores são as componentes x e y da velocidade do centro de massa do bloco antes da explosão.

Passo 7

(se quiser a velocidade em módulo e direção — útil na prova)
Calcular o módulo e a direção (ângulo em relação ao eixo +x):
Módulo:
\|\vec{v}_0\|=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}.
Usando a forma simbólica v_{0x}=4+\dfrac{9}{2}\sqrt{3} e v_{0y}=-4{,}5, ao simplificar dá
\|\vec{v}_0\|=\sqrt{97+36\sqrt{3}}\approx 12{,}62\\ \mathrm{m/s}.
Direção (ângulo \varphi medido a partir do eixo +x, sinal negativo indica abaixo do eixo):
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-4{,}5}{4+\tfrac{9}{2}\sqrt{3}}\right) \approx -20{,}9^\circ\\ (\text{ou } -0{,}364\\ \mathrm{rad}).

Resposta

\displaystyle \vec{v}_0=\left(4+\dfrac{9}{2}\sqrt{3}\right)\hat{x}-4{,}5\\ \hat{y}\\ \mathrm{m/s}\approx 11{,}794\\ \hat{x}-4{,}5\\ \hat{y}\\ \mathrm{m/s}
\displaystyle \|\vec{v}_0\|\approx 12{,}62\\ \mathrm{m/s},\quad \varphi\approx -20{,}9^\circ

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