Uma corda de 1,0 \mathrm{~m} de comprimento está fixa em ambas as extremidades. Ondas estacionárias de frequências sucessivas 32 Hz e 48 Hz são observadas na corda ( não há onda estacionária para frequências entre essas duas).
a) Qual é a frequência fundamental de uma onda estacionária nesta corda?
b) Qual é a velocidade de onda nesta corda ?
c) Desenhe o padrão de onda estacionária quando a corda oscila com 32 Hz .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
  • Comprimento da corda: L = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Há ondas estacionárias observadas em frequências sucessivas 32\\ \mathrm{Hz} e 48\\ \mathrm{Hz}.
  • Entre 32\\ \mathrm{Hz} e 48\\ \mathrm{Hz} não existe onda estacionária (ou seja, essas duas frequências são harmônicos consecutivos).
Perguntas que o enunciado faz:
a) Qual é a frequência fundamental da corda?
b) Qual é a velocidade de propagação da onda na corda?
c) Desenhe (descreva) o padrão de onda estacionária quando a corda oscila com 32\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Entendendo as ondas estacionárias em uma corda fixa nas duas extremidades (aulas rápidas, sem pânico):
  • Em uma corda fixa nas duas extremidades só são permitidas ondas cujas extremidades sejam nós (deslocamento zero). Isso leva aos modos normais com comprimentos de onda que satisfazem
\lambda_n=\frac{2L}{n},
onde n é um número inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). Aqui \lambda_n é o comprimento de onda do n-ésimo modo (harmônico).
  • A frequência correspondente a cada modo n é
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{v}{2L}n.
Se definirmos a frequência fundamental f_1 como a do primeiro harmônico ( n=1), então
f_n = n f_1.
Ou seja, as frequências formam uma progressão aritmética com diferença f_1. Isso é importante: harmônicos consecutivos diferem exatamente de f_1.
Vou explicar em palavras: o modo n tem n “meias-ondas” encaixadas ao longo da corda — para n=1 a corda inteira é meia-onda; para n=2 há uma onda inteira; para n=3 há uma onda e meia, etc.

Passo 3

Usando a informação de que 32\\ \mathrm{Hz} e 48\\ \mathrm{Hz} são harmônicos sucessivos:
Sejam f_n e f_{n+1} essas frequências. Da relação f_{n+1}-(f_n)=f_1 obtemos que a diferença entre frequências consecutivas é a própria frequência fundamental.
Portanto a frequência fundamental é
f_1 = 48\\ \mathrm{Hz} - 32\\ \mathrm{Hz} = 16\\ \mathrm{Hz}.
Explicando passo a passo: como f_n = n f_1 e f_{n+1} = (n+1)f_1, subtraindo dá f_{n+1}-f_n = f_1. Como nos deram duas frequências consecutivas, a diferença é f_1.

Passo 4

Agora calculamos a velocidade da onda v na corda.
A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é a fórmula universal das ondas:
v = f \lambda,
onde v é a velocidade de propagação, f a frequência e \lambda o comprimento de onda correspondente.
Usando o modo fundamental ( n=1) é mais simples: a frequência fundamental é
f_1 = \frac{v}{2L}\quad\Rightarrow\quad v = 2L f_1.
Substituindo L=1{,}0\\ \mathrm{m} e f_1=16\\ \mathrm{Hz},
v = 2\cdot 1{,}0\\ \mathrm{m}\cdot 16\\ \mathrm{Hz} = 32\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: podemos também ter usado qualquer harmônico, por exemplo f_n e \lambda_n=\tfrac{2L}{n}, e verificar que v=f_n\lambda_n=n f_1\cdot \tfrac{2L}{n}=2L f_1, mesma coisa.

Passo 5

Identificar qual harmônico corresponde a 32\\ \mathrm{Hz} e obter o padrão espacial.
Como f_n = n f_1 e f_1=16\\ \mathrm{Hz}, temos
n = \frac{f_n}{f_1} = \frac{32}{16} = 2.
Ou seja, 32\\ \mathrm{Hz} é o segundo harmônico ( n=2).
Para n=2 o comprimento de onda é
\lambda_2=\frac{2L}{n}=\frac{2\cdot 1{,}0}{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Posições de nós e ventres (antínodos) ao longo da corda:
  • Nós (deslocamento zero) ocorrem em x=0 e x=L sempre, e para n=2 há um nó adicional no meio: x=\tfrac{L}{2}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Ventres (antínodos, máximo deslocamento) estão a \tfrac{\lambda_2}{4} de cada nó: então em x=\tfrac{L}{4}=0{,}25\\ \mathrm{m} e em x=\tfrac{3L}{4}=0{,}75\\ \mathrm{m}.
Interpretação: para n=2 a corda tem duas “meias-ondas” consecutivas que juntas formam uma onda completa ao longo de L. Há 3 nós (0, 0{,}50, 1{,}0) e 2 ventres (0{,}25, 0{,}75).

Passo 6

Desenho/representação do padrão de onda estacionária para 32\\ \mathrm{Hz} (modo n=2).
Vou mostrar um esboço ASCII da forma instantânea (num certo instante em que os ventres estão nos máximos de amplitude). A linha horizontal representa a posição x ao longo da corda de 0 a 1{,}0\\ \mathrm{m}. Os nós são pontos onde a corda está sempre em y=0.
Observações de posições que eu usei no desenho: nó em x=0, nó em x=0{,}50 e nó em x=1{,}0; ventres em x=0{,}25 e x=0{,}75.
Desenho (esboço):
x=0.00m x=0.25m x=0.50m x=0.75m x=1.00m
|-------------|-------------|-------------|-------------|
N A N A N
Onde:
  • N = nó ( y=0)
  • A = ventre (máxima deslocamento)
Mais visualmente, imaginando a corda deslocada para cima e para baixo alternadamente, seria algo como:
x=0 0,25 0,5 0,75 1,0
|-------/-------/-------/-------|
0 +A 0 -A 0
Isto indica duas “jorradas” (duas regiões de amplitude) com um nó no meio. Em outro instante as cristas e vales se invertem (a parte que estava para cima vai para baixo), mas a posição dos nós e ventres não muda.

Resposta

a) f_1=16\\ \mathrm{Hz}
b) v=32\\ \mathrm{m/s}
c) Segundo harmônico ( n=2). Nós em x=0, x=0{,}50\\ \mathrm{m} e x=1{,}0\\ \mathrm{m}; ventres em x=0{,}25\\ \mathrm{m} e x=0{,}75\\ \mathrm{m}. Esboço: \n|-------/-------/-------/-------| (com nós em 0, 0{,}50, 1{,}0 e ventres em 0{,}25 e 0{,}75)

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