Uma corda de
de comprimento está fixa em ambas as extremidades. Ondas estacionárias de frequências sucessivas 32 Hz e 48 Hz são observadas na corda ( não há onda estacionária para frequências entre essas duas).
a) Qual é a frequência fundamental de uma onda estacionária nesta corda?
b) Qual é a velocidade de onda nesta corda ?
c) Desenhe o padrão de onda estacionária quando a corda oscila com 32 Hz .
a) Qual é a frequência fundamental de uma onda estacionária nesta corda?
b) Qual é a velocidade de onda nesta corda ?
c) Desenhe o padrão de onda estacionária quando a corda oscila com 32 Hz .
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
- Comprimento da corda:
. - Há ondas estacionárias observadas em frequências sucessivas
e . - Entre
e não existe onda estacionária (ou seja, essas duas frequências são harmônicos consecutivos).
Perguntas que o enunciado faz:
a) Qual é a frequência fundamental da corda?
b) Qual é a velocidade de propagação da onda na corda?
c) Desenhe (descreva) o padrão de onda estacionária quando a corda oscila com .
a) Qual é a frequência fundamental da corda?
b) Qual é a velocidade de propagação da onda na corda?
c) Desenhe (descreva) o padrão de onda estacionária quando a corda oscila com
Passo 2
Entendendo as ondas estacionárias em uma corda fixa nas duas extremidades (aulas rápidas, sem pânico):
- Em uma corda fixa nas duas extremidades só são permitidas ondas cujas extremidades sejam nós (deslocamento zero). Isso leva aos modos normais com comprimentos de onda que satisfazem
onde
é um número inteiro positivo (
). Aqui
é o comprimento de onda do
-ésimo modo (harmônico).
- A frequência correspondente a cada modo
é
Se definirmos a frequência fundamental
como a do primeiro harmônico (
), então
Ou seja, as frequências formam uma progressão aritmética com diferença
. Isso é importante: harmônicos consecutivos diferem exatamente de
.
Vou explicar em palavras: o modo
tem
“meias-ondas” encaixadas ao longo da corda — para
a corda inteira é meia-onda; para
há uma onda inteira; para
há uma onda e meia, etc.
Passo 3
Usando a informação de que
e
são harmônicos sucessivos:
Sejam
e
essas frequências. Da relação
obtemos que a diferença entre frequências consecutivas é a própria frequência fundamental.
Portanto a frequência fundamental é
Explicando passo a passo: como
e
, subtraindo dá
. Como nos deram duas frequências consecutivas, a diferença é
.
Passo 4
Agora calculamos a velocidade da onda
na corda.
A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é a fórmula universal das ondas:
onde
é a velocidade de propagação,
a frequência e
o comprimento de onda correspondente.
Usando o modo fundamental (
) é mais simples: a frequência fundamental é
Substituindo
e
,
Comentário didático: podemos também ter usado qualquer harmônico, por exemplo
e
, e verificar que
, mesma coisa.
Passo 5
Identificar qual harmônico corresponde a
e obter o padrão espacial.
Como
e
, temos
Ou seja,
é o segundo harmônico (
).
Para
o comprimento de onda é
Posições de nós e ventres (antínodos) ao longo da corda:
- Nós (deslocamento zero) ocorrem em
e sempre, e para há um nó adicional no meio: . - Ventres (antínodos, máximo deslocamento) estão a
de cada nó: então em e em .
Interpretação: para
a corda tem duas “meias-ondas” consecutivas que juntas formam uma onda completa ao longo de
. Há 3 nós (0, 0{,}50, 1{,}0) e 2 ventres (0{,}25, 0{,}75).
Passo 6
Desenho/representação do padrão de onda estacionária para
(modo
).
Vou mostrar um esboço ASCII da forma instantânea (num certo instante em que os ventres estão nos máximos de amplitude). A linha horizontal representa a posição
ao longo da corda de
a
. Os nós são pontos onde a corda está sempre em
.
Observações de posições que eu usei no desenho: nó em
, nó em
e nó em
; ventres em
e
.
Desenho (esboço):
x=0.00m x=0.25m x=0.50m x=0.75m x=1.00m
|-------------|-------------|-------------|-------------|
N A N A N
|-------------|-------------|-------------|-------------|
N A N A N
Onde:
- N = nó (
) - A = ventre (máxima deslocamento)
Mais visualmente, imaginando a corda deslocada para cima e para baixo alternadamente, seria algo como:
x=0 0,25 0,5 0,75 1,0
|-------/-------/-------/-------|
0 +A 0 -A 0
|-------/-------/-------/-------|
0 +A 0 -A 0
Isto indica duas “jorradas” (duas regiões de amplitude) com um nó no meio. Em outro instante as cristas e vales se invertem (a parte que estava para cima vai para baixo), mas a posição dos nós e ventres não muda.
Resposta
a)
b)
c) Segundo harmônico (
). Nós em
,
e
; ventres em
e
. Esboço: \n|-------/-------/-------/-------| (com nós em 0, 0{,}50, 1{,}0 e ventres em 0{,}25 e 0{,}75)