Q2 (3 pts) Considere uma caixa térmica isolada contendo gás ideal monoatômico, separada por uma parede móvel sem atrito entre dois compartimentos,
e
. O compartimento
contém
partículas, volume inicial
e temperatura inicial
. O compartimento B contém
partículas, volume inicial
e temperatura inicial
.
Sabe-se que inicialmente:
A parede pode se mover livremente, permite troca de calor entre os lados A e B e o sistema evolui até o equilíbrio termodinâmico. Considere a energia total do gás constante e o comportamento de
(1.0) (a) Qual a condição para que a divisória não se mova (condição de equilíbrio mecânico)? gás ideal.
No equilíbrio mecânico e térmico, qual a relação entre as variáveis
e
?
(1.0) (b) Determine a temperatura final comum
em termos de
.
(1.0) (c) Calcule a variação total da entropia
do sistema.
(1.0) (a) Qual a condição para que a divisória não se mova (condição de equilíbrio mecânico)? gás ideal.
No equilíbrio mecânico e térmico, qual a relação entre as variáveis
(1.0) (b) Determine a temperatura final comum
(1.0) (c) Calcule a variação total da entropia
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá várias informações. Vou listar claramente.
Perguntas:
- (a) Qual a condição para que a divisória não se mova (condição de equilíbrio mecânico)? No equilíbrio mecânico e térmico, qual a relação entre
? - (b) Determinar a temperatura final comum
em termos de . - (c) Calcular a variação total da entropia
.
Dados fornecidos:
Condições do sistema (importantes para a resolução):
- A caixa térmica como um todo é isolada: a energia total dos gases é constante.
- A parede separadora é móvel sem atrito e permite troca de calor entre
e (logo, no equilíbrio teremos também mesma temperatura). - Gás ideal monoatômico (isso define a energia interna e o calor específico que vamos usar).
Passo 2
Equilíbrio mecânico — condição para que a divisória não se mova.
Explicação didática rápida: a divisória fica parada quando as forças de pressão de ambos os lados se equilibram, ou seja, quando as pressões dos dois compartimentos são iguais. Para um gás ideal, a pressão é dada pela equação de estado
onde
é o número de partículas,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura e
o volume.
No equilíbrio térmico também teremos
. Igualando as pressões
usando a equação de estado com a mesma temperatura
obtemos:
Cancelando
(não nulo) segue a relação entre volumes e números de partículas:
Substituindo os valores:
Passo 3
Temperatura final usando conservação da energia total.
Primeiro: energia interna de um gás ideal monoatômico. Para cada partícula a energia média translacional é
. Para
partículas a energia interna é
Como a caixa é isolada e não há trabalho externo perdido pela parede (a parede se move sem atrito entre as partes, mas a energia total do gás é dada como constante no enunciado), a energia total inicial é igual à energia total final:
Cancelando
:
Agora usamos a relação dada
, ou seja
, e os valores
,
:
Passo 4
Determinando as razões de volumes iniciais e finais (serão usadas na entropia).
Total de volume
é constante (a caixa não muda de volume). Do dado
temos
logo
Usando a condição do Passo 2 para os volumes finais
, escrevemos
portanto
As razões necessárias para a entropia são então
Passo 5
Cálculo da variação de entropia
.
Fórmula usada (importante explicação): para um gás ideal, a variação de entropia ao passar de um estado
para
é
onde
é a capacidade térmica por partícula a volume fixo. Para gás monoatômico temos
. Nesta fórmula:
-
é o número de partículas do compartimento considerado, -
é a constante de Boltzmann, -
são temperaturas inicial e final do compartimento, -
são volumes inicial e final.
Aplicamos separadamente para
e
e somamos.
Primeiro, razões de temperatura já encontradas:
Agora calculemos
e
.
Para
:
Para
:
Somando:
Agora cálculo numérico (para ter uma indicação prática). Usando logaritmos naturais:
O valor é positivo, como esperado para um processo irreversível espontâneo rumo ao equilíbrio.
Resposta
(a)
,
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)