Q2 (3 pts) Considere uma caixa térmica isolada contendo gás ideal monoatômico, separada por uma parede móvel sem atrito entre dois compartimentos, A e B. O compartimento A contém N_{A}=12 partículas, volume inicial V_{A, i} e temperatura inicial T_{A, i}. O compartimento B contém N_{B}=4 partículas, volume inicial V_{B, i} e temperatura inicial T_{B, i}.
Sabe-se que inicialmente:
\frac{V_{B, i}}{V_{A, i}}=\frac{1}{2}, \quad \frac{T_{A, i}}{T_{B, i}}=3
A parede pode se mover livremente, permite troca de calor entre os lados A e B e o sistema evolui até o equilíbrio termodinâmico. Considere a energia total do gás constante e o comportamento de
(1.0) (a) Qual a condição para que a divisória não se mova (condição de equilíbrio mecânico)? gás ideal.
No equilíbrio mecânico e térmico, qual a relação entre as variáveis V_{B, f}, V_{A, f}, N_{B} e N_{A} ?
(1.0) (b) Determine a temperatura final comum T_{f} em termos de T_{B, i}.
(1.0) (c) Calcule a variação total da entropia \Delta S=\Delta S_{A}+\Delta S_{B} do sistema.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá várias informações. Vou listar claramente.
Perguntas:
  1. (a) Qual a condição para que a divisória não se mova (condição de equilíbrio mecânico)? No equilíbrio mecânico e térmico, qual a relação entre V_{B,f},V_{A,f},N_{B},N_{A} ?
  2. (b) Determinar a temperatura final comum T_{f} em termos de T_{B,i}.
  3. (c) Calcular a variação total da entropia \Delta S=\Delta S_{A}+\Delta S_{B}.
Dados fornecidos:
N_{A}=12,\quad N_{B}=4,
\frac{V_{B,i}}{V_{A,i}}=\frac{1}{2},
\frac{T_{A,i}}{T_{B,i}}=3.
Condições do sistema (importantes para a resolução):
  • A caixa térmica como um todo é isolada: a energia total dos gases é constante.
  • A parede separadora é móvel sem atrito e permite troca de calor entre A e B (logo, no equilíbrio teremos também mesma temperatura).
  • Gás ideal monoatômico (isso define a energia interna e o calor específico que vamos usar).

Passo 2

Equilíbrio mecânico — condição para que a divisória não se mova.
Explicação didática rápida: a divisória fica parada quando as forças de pressão de ambos os lados se equilibram, ou seja, quando as pressões dos dois compartimentos são iguais. Para um gás ideal, a pressão é dada pela equação de estado
p=\frac{N k T}{V},
onde N é o número de partículas, k é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e V o volume.
No equilíbrio térmico também teremos T_A=T_B=T_f. Igualando as pressões p_A=p_B usando a equação de estado com a mesma temperatura T_f obtemos:
\frac{N_{A}k T_{f}}{V_{A,f}}=\frac{N_{B}k T_{f}}{V_{B,f}}.
Cancelando kT_{f} (não nulo) segue a relação entre volumes e números de partículas:
\frac{V_{B,f}}{V_{A,f}}=\frac{N_{B}}{N_{A}}.
Substituindo os valores:
\frac{V_{B,f}}{V_{A,f}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.

Passo 3

Temperatura final usando conservação da energia total.
Primeiro: energia interna de um gás ideal monoatômico. Para cada partícula a energia média translacional é \tfrac{3}{2}kT. Para N partículas a energia interna é
U=\frac{3}{2}N k T.
Como a caixa é isolada e não há trabalho externo perdido pela parede (a parede se move sem atrito entre as partes, mas a energia total do gás é dada como constante no enunciado), a energia total inicial é igual à energia total final:
\frac{3}{2}k\big(N_{A}T_{A,i}+N_{B}T_{B,i}\big)=\frac{3}{2}k\big(N_{A}+N_{B}\big)T_{f}.
Cancelando \tfrac{3}{2}k:
T_{f}=\frac{N_{A}T_{A,i}+N_{B}T_{B,i}}{N_{A}+N_{B}}.
Agora usamos a relação dada \dfrac{T_{A,i}}{T_{B,i}}=3, ou seja T_{A,i}=3T_{B,i}, e os valores N_{A}=12, N_{B}=4:
T_{f}=\frac{12\cdot 3T_{B,i}+4\cdot 1T_{B,i}}{12+4}=\frac{36T_{B,i}+4T_{B,i}}{16}=\frac{40}{16}T_{B,i}=\frac{5}{2}T_{B,i}.

Passo 4

Determinando as razões de volumes iniciais e finais (serão usadas na entropia).
Total de volume V_{\text{tot}}=V_{A,i}+V_{B,i} é constante (a caixa não muda de volume). Do dado \dfrac{V_{B,i}}{V_{A,i}}=\tfrac{1}{2} temos
V_{B,i}=\tfrac{1}{2}V_{A,i},\quad V_{\text{tot}}=V_{A,i}+V_{B,i}=V_{A,i}\Big(1+\tfrac{1}{2}\Big)=\tfrac{3}{2}V_{A,i},
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V_{A,i}=\frac{2}{3}V_{\text{tot}},\quad V_{B,i}=\frac{1}{3}V_{\text{tot}}.
Usando a condição do Passo 2 para os volumes finais \dfrac{V_{B,f}}{V_{A,f}}=\dfrac{1}{3}, escrevemos
V_{A,f}+V_{B,f}=V_{\text{tot}}\quad\Rightarrow\quad V_{A,f}\Big(1+\tfrac{1}{3}\Big)=V_{\text{tot}},
portanto
V_{A,f}=\frac{3}{4}V_{\text{tot}},\quad V_{B,f}=\frac{1}{4}V_{\text{tot}}.
As razões necessárias para a entropia são então
\frac{V_{A,f}}{V_{A,i}}=\frac{\tfrac{3}{4}V_{\text{tot}}}{\tfrac{2}{3}V_{\text{tot}}}=\frac{9}{8}, \qquad \frac{V_{B,f}}{V_{B,i}}=\frac{\tfrac{1}{4}V_{\text{tot}}}{\tfrac{1}{3}V_{\text{tot}}}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia \Delta S.
Fórmula usada (importante explicação): para um gás ideal, a variação de entropia ao passar de um estado (T_i,V_i) para (T_f,V_f) é
\Delta S = N C_{v}\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right) + N k \ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right),
onde C_{v} é a capacidade térmica por partícula a volume fixo. Para gás monoatômico temos C_{v}=\tfrac{3}{2}k. Nesta fórmula:
  • N é o número de partículas do compartimento considerado,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T_{i},T_{f} são temperaturas inicial e final do compartimento,
  • V_{i},V_{f} são volumes inicial e final.
Aplicamos separadamente para A e B e somamos.
Primeiro, razões de temperatura já encontradas:
\frac{T_{f}}{T_{A,i}}=\frac{\tfrac{5}{2}T_{B,i}}{3T_{B,i}}=\frac{5}{6},\qquad \frac{T_{f}}{T_{B,i}}=\frac{5}{2}.
Agora calculemos \Delta S_{A} e \Delta S_{B}.
Para A:
\Delta S_{A}=N_{A}\left(\frac{3}{2}k\right)\ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{A,i}}\right)+N_{A}k\ln\!\left(\frac{V_{A,f}}{V_{A,i}}\right) = N_{A}k\!\left(\tfrac{3}{2}\ln\!\frac{5}{6}+\ln\!\frac{9}{8}\right).
Para B:
\Delta S_{B}=N_{B}k\!\left(\tfrac{3}{2}\ln\!\frac{5}{2}+\ln\!\frac{3}{4}\right).
Somando:
\Delta S = k\Big[12\Big(\tfrac{3}{2}\ln\!\tfrac{5}{6}+\ln\!\tfrac{9}{8}\Big)+4\Big(\tfrac{3}{2}\ln\!\tfrac{5}{2}+\ln\!\tfrac{3}{4}\Big)\Big].
Agora cálculo numérico (para ter uma indicação prática). Usando logaritmos naturais:
\Delta S \approx k\cdot 2{,}478624507\approx 2{,}479\,k.
O valor é positivo, como esperado para um processo irreversível espontâneo rumo ao equilíbrio.

Resposta

(a) \displaystyle p_{A}=p_{B}, \displaystyle \frac{V_{B,f}}{V_{A,f}}=\frac{N_{B}}{N_{A}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.\n
(b) \displaystyle T_{f}=\frac{N_{A}T_{A,i}+N_{B}T_{B,i}}{N_{A}+N_{B}}=\frac{5}{2}T_{B,i}.\n
(c) \displaystyle \Delta S=k\Big[12\Big(\tfrac{3}{2}\ln\!\tfrac{5}{6}+\ln\!\tfrac{9}{8}\Big)+4\Big(\tfrac{3}{2}\ln\!\tfrac{5}{2}+\ln\!\tfrac{3}{4}\Big)\Big]\approx 2{,}479\,k.

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