Um espaço de Banach Y é chamado de isometricamente injetivo se o teorema de Hahn-Banach continua válido com Y no lugar de K. Mostre que ellinfty é isometricamente injetivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço de Banach ellinfty é isometricamente injetivo, ou seja, que o teorema de Hahn–Banach para extensão de funcionais escalares continua válido quando o “alvo” é ellinfty em vez de K. O conteúdo usado será o conceito de extensão de operadores lineares limitados por Hahn–Banach e a estrutura de ellinfty como espaço de sequências com a norma do supremo.

Passo 2

Recordando a definição: um Banach Y é isometricamente injetivo se, para qualquer Banach Z, qualquer subespaço fechado Xsubset Z e qualquer operador linear limitado
T:Xto Y,
existe uma extensão linear limitada
widetilde T:Zto Y
tal que widetilde T|X=T e |widetilde T|=|T|. Queremos provar isto para Y=ellinfty.

Passo 3

Seja Z um Banach, Xsubset Z um subespaço fechado e seja
T:Xto ellinfty
um operador linear limitado com norma |T|=M. Escrevamos cada T(x)inellinfty como a sequência
T(x)=(T1(x),T2(x),T3(x),dots),
onde cada Tn:XtoK é um funcional linear e supn|Tn|<= M.

Passo 4

Pelo teorema de Hahn–Banach clássico, cada funcional Tnin X^* se estende a um funcional linear psin:ZtoK com a mesma norma:
psin|X=Tn, |psin|=|Tn|<= M

Passo 5

Definimos então um operador widetilde T:Ztoellinfty coordenada a coordenada por
widetilde T(z)=l(psi1(z),psi2(z),psi3(z),dotsr)
É claro que widetilde T é linear e, para xin X,
widetilde T(x)=l(psin(x)r)n =l(Tn(x)r)n = T(x),
ou seja, widetilde T estende T.

Passo 6

Resta verificar que widetilde T tem norma |widetilde T|=M. Para todo zin Z,
|widetilde T(z)|infty =supn|psin(z)| <=supn|psin|,|z| <= M|z|
Daí |widetilde T|<= M=|T|. Por outro lado, como widetilde T coincide com T em X, tem-se |widetilde T|>=|T|. Logo |widetilde T|=|T|.

Resposta

Demonstra-se, portanto, que para todo operador limitado T:Xtoellinfty existe extensão widetilde T:Ztoellinfty com |widetilde T|=|T|. Assim, ellinfty é isometricamente injetivo.

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