Um espaço de Banach
é chamado de isometricamente injetivo se o teorema de Hahn-Banach continua válido com
no lugar de
. Mostre que
é isometricamente injetivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço de Banach
é isometricamente injetivo, ou seja, que o teorema de Hahn–Banach para extensão de funcionais escalares continua válido quando o “alvo” é
em vez de
. O conteúdo usado será o conceito de extensão de operadores lineares limitados por Hahn–Banach e a estrutura de
como espaço de sequências com a norma do supremo.
Passo 2
Recordando a definição: um Banach
é isometricamente injetivo se, para qualquer Banach
, qualquer subespaço fechado
e qualquer operador linear limitado
existe uma extensão linear limitada
tal que
e
. Queremos provar isto para
.
Passo 3
Seja
um Banach,
um subespaço fechado e seja
um operador linear limitado com norma
. Escrevamos cada
como a sequência
onde cada
é um funcional linear e
.
Passo 4
Pelo teorema de Hahn–Banach clássico, cada funcional
se estende a um funcional linear
com a mesma norma:
Passo 5
Definimos então um operador
coordenada a coordenada por
É claro que
é linear e, para
,
ou seja,
estende
.
Passo 6
Resta verificar que
tem norma
. Para todo
,
Daí
. Por outro lado, como
coincide com
em
, tem-se
. Logo
.
Resposta
Demonstra-se, portanto, que para todo operador limitado
existe extensão
com
. Assim,
é isometricamente injetivo.