Mostre que X^* separa pontos de X. Ou seja, mostre que dados x, y in X com x neq y existe varphi in X^* tal que varphi(x) neq varphi(y).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, dado qualquer par de pontos distintos x,yin X, existe um funcional linear contínuo varphiin X^* tal que varphi(x)neqvarphi(y).
O ingrediente principal é o Teorema de Hahn–Banach para espaços normados, que permite estender um funcional linear limitado definido num subespaço de dimensão 1 para todo o espaço, preservando a norma.

Passo 2

Como xneq y, o vetor
u ;=; x - y
é não nulo. Considere o subespaço unidimensional
M = spanu = alpha,u : alphainK,
onde K=R ou C.

Passo 3

Definimos em M o funcional linear varphi0:MtoK por
varphi0(alpha,u) ;=;alpha,|u|
É claro que varphi0 é linear. Além disso, para qualquer alphainK vale
l|varphi0(alpha,u)r| =|alpha|,|u| e |alpha,u|=|alpha|,|u|,
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|varphi0| =supvin Msetminus0|varphi0(v)||v| =supalphaneq0|alpha|,|u||alpha|,|u| =1

Passo 4

Pelo Teorema de Hahn–Banach para espaços normados, existe extensão varphiin X^* de varphi0 a todo X que satisfaz
varphi|M=varphi0 e |varphi|=|varphi0|=1

Passo 5

Como varphi estende varphi0, temos
varphi(x)-varphi(y) =varphi(x-y) =varphi(u) =varphi0(u) =|u| neq0
Portanto varphi(x)neqvarphi(y).

Resposta

Para quaisquer xneq y em X definimos u=x-yneq0 e construímos o funcional varphiin X^* que estende varphi0(alpha u)=alpha|u|. Assim varphi(x)-varphi(y)=|u|neq0, logo varphi(x)neqvarphi(y).

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