Mostre que separa pontos de . Ou seja, mostre que dados com existe tal que .
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, dado qualquer par de pontos distintos , existe um funcional linear contínuo tal que .
O ingrediente principal é o Teorema de Hahn–Banach para espaços normados, que permite estender um funcional linear limitado definido num subespaço de dimensão 1 para todo o espaço, preservando a norma.
Passo 2
Como , o vetor
é não nulo. Considere o subespaço unidimensional
onde ou .
Passo 3
Definimos em o funcional linear por
É claro que é linear. Além disso, para qualquer vale
Para quaisquer xneq y em X definimos u=x-yneq0 e construímos o funcional varphiin X^* que estende varphi0(alpha u)=alpha|u|. Assim varphi(x)-varphi(y)=|u|neq0, logo varphi(x)neqvarphi(y).