Mostre que se
e
são simétricas e comutam, então
é simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são matrizes simétricas (isto é,
e
) e ainda comutam (isto é,
), então o produto
também é uma matriz simétrica.
Passo 2
Vamos usar a propriedade geral da transposição de um produto de matrizes:
Passo 3
Como
e
são simétricas, temos
e
. Substituindo na fórmula acima, obtemos
Passo 4
Pela hipótese de comutatividade,
. Portanto,
isto é,
, o que mostra que
é simétrica.