Mostre que se A e B são simétricas e comutam, então A B é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são matrizes simétricas (isto é, A^T = A e B^T = B) e ainda comutam (isto é, AB = BA), então o produto AB também é uma matriz simétrica.

Passo 2

Vamos usar a propriedade geral da transposição de um produto de matrizes:
(AB)^T = B^T,A^T

Passo 3

Como A e B são simétricas, temos A^T = A e B^T = B. Substituindo na fórmula acima, obtemos
(AB)^T = B,A

Passo 4

Pela hipótese de comutatividade, AB = BA. Portanto,
(AB)^T = BA = AB,
isto é, (AB)^T = AB, o que mostra que AB é simétrica.

Resposta

AB é simétrica.

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