Prove que todo espaço normado separável é (isométrico a) um subespaço de
.
Passo 1
Seja
um espaço normado separável. Queremos construir um operador linear isométrico
e mostrar que
é um subespaço de
isométrico a
. Para isso usaremos duas ideias principais:
. A fórmula
que vem do Teorema de Hahn–Banach.
. O fato de que, como
é separável, a bola unidade de
é compacta e metrizável na topologia fraco–estrela, logo é separável nessa topologia.
Passo 2
Pela extensão de Hahn–Banach, para todo
vale
Em outras palavras, a norma de
pode ser recuperada como supremo dos valores que os funcionais contínuos
de norma não maior que
tomam em
.
Passo 3
Como
é separável, a bola unidade
é compacta e metrizável em
(teorema de Banach–Alaoglu
metrizabilidade em pré–dual separável). Logo existe uma sequência
em
que é densa nessa bola unidade para a topologia fraco–estrela.
Passo 4
Definimos então
Note que
é linear e que, para todo
,
Assim
.
Passo 5
Para ver que
é isométrico, observe que, dado
, a função
é contínua na topologia fraco–estrela. Como
é densa em
, tem-se
Logo
o que mostra que
preserva a norma. Em particular
é injetora.
Resposta
O operador
é um isométrico linear, e
é um subespaço de
isométrico a
. Portanto todo espaço normado separável se embute isometricamente em
.