Prove que todo espaço normado separável é (isométrico a) um subespaço de ellinfty.

Passo 1

Seja X um espaço normado separável. Queremos construir um operador linear isométrico
Tcolon X;longrightarrow;ellinfty
e mostrar que T(X) é um subespaço de ellinfty isométrico a X. Para isso usaremos duas ideias principais:
1. A fórmula
|x| ;=;supl|f(x)|:fin X',;|f|<=1r,
que vem do Teorema de Hahn–Banach.
2. O fato de que, como X é separável, a bola unidade de X' é compacta e metrizável na topologia fraco–estrela, logo é separável nessa topologia.

Passo 2

Pela extensão de Hahn–Banach, para todo xin X vale
|x| ;=;supl|f(x)|:fin X',;|f|<=1r
Em outras palavras, a norma de x pode ser recuperada como supremo dos valores que os funcionais contínuos f de norma não maior que 1 tomam em x.

Passo 3

Como X é separável, a bola unidade
BX' = ,fin X':|f|<=1
é compacta e metrizável em sigma(X',X) (teorema de Banach–Alaoglu + metrizabilidade em pré–dual separável). Logo existe uma sequência fnn=1^infty em BX' que é densa nessa bola unidade para a topologia fraco–estrela.

Passo 4

Definimos então
Tcolon X ;longrightarrow;ellinfty, T(x) = l(f1(x),,f2(x),,f3(x),dotsr)
Note que T é linear e que, para todo xin X,
|T(x)|infty = supn|fn(x)| ;<=; supl|f(x)|:fin BX'r = |x|
Assim |T|<=1.

Passo 5

Para ver que T é isométrico, observe que, dado xin X, a função
BX';ni;f;longmapsto;|f(x)|
é contínua na topologia fraco–estrela. Como fn é densa em BX', tem-se
supn|fn(x)| = supl|f(x)|:fin BX'r = |x|
Logo
|T(x)|infty = |x|,
o que mostra que T preserva a norma. Em particular T é injetora.

Resposta

O operador
Tcolon Xtoellinfty, T(x)=(fn(x))n=1^infty
é um isométrico linear, e T(X) é um subespaço de ellinfty isométrico a X. Portanto todo espaço normado separável se embute isometricamente em ellinfty.

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