No espaço, para a construção da equação vetorial, precisamos de um ponto e do vetor diretor. Dados os pontos A (0,0,1), B (-2,-2,3) e C (3,3,-2), qual é a equação vetorial de reta que passa pelo ponto A e tem vetor diretor BC?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação vetorial de uma reta no espaço. Para isso, precisamos de duas coisas: um ponto por onde a reta passa e um vetor diretor que indica a direção da reta. Na questão, temos o ponto A (0, 0, 1) e precisamos encontrar o vetor diretor que é o vetor BC. Vamos precisar das coordenadas dos pontos B e C para calcular esse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor diretor entre dois pontos. O vetor BC é obtido subtraindo as coordenadas de B das de C. Ou seja:
BC = C - B

Passo 3

Vamos calcular as coordenadas do vetor BC usando os pontos dados:
  • Ponto B: (-2, -2, 3)
  • Ponto C: (3, 3, -2)
Subtraindo as coordenadas de B das de C:
BC = (3 - (-2), 3 - (-2), -2 - 3) = (5, 5, -5)
Então, o vetor diretor BC é (5, 5, -5).

Passo 4

Agora que temos o ponto A (0, 0, 1) e o vetor diretor (5, 5, -5), podemos construir a equação vetorial da reta. A forma geral da equação vetorial de uma reta é:
r = a + t cdot d
Onde:
  • r é um vetor posição qualquer na reta,
  • a é o vetor posição do ponto conhecido (no caso, A),
  • d é o vetor diretor,
  • t é um parâmetro real.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
  • a = (0, 0, 1)
  • d = (5, 5, -5)
Então:
r = (0, 0, 1) + t cdot (5, 5, -5)

Passo 6

Podemos escrever as componentes da equação vetorial separadamente para facilitar a visualização:
x = 0 + 5t y = 0 + 5t z = 1 - 5t
Ou simplesmente:
r = (0 + 5t, 0 + 5t, 1 - 5t)

Resposta

A equação vetorial da reta que passa pelo ponto A e tem vetor diretor BC é:
r = (0, 0, 1) + t cdot (5, 5, -5)

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