No espaço, para a construção da equação vetorial, precisamos de um ponto e do vetor diretor. Dados os pontos A (0,0,1), B (-2,-2,3) e C (3,3,-2), qual é a equação vetorial de reta que passa pelo ponto A e tem vetor diretor BC?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação vetorial de uma reta no espaço. Para isso, precisamos de duas coisas: um ponto por onde a reta passa e um vetor diretor que indica a direção da reta. Na questão, temos o ponto A (0, 0, 1) e precisamos encontrar o vetor diretor que é o vetor BC. Vamos precisar das coordenadas dos pontos B e C para calcular esse vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor diretor entre dois pontos. O vetor BC é obtido subtraindo as coordenadas de B das de C. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as coordenadas do vetor BC usando os pontos dados:
- Ponto B: (-2, -2, 3)
- Ponto C: (3, 3, -2)
Subtraindo as coordenadas de B das de C:
Então, o vetor diretor BC é (5, 5, -5).
Passo 4
Agora que temos o ponto A (0, 0, 1) e o vetor diretor (5, 5, -5), podemos construir a equação vetorial da reta. A forma geral da equação vetorial de uma reta é:
Onde:
-
é um vetor posição qualquer na reta,r -
é o vetor posição do ponto conhecido (no caso, A),a -
é o vetor diretor,d -
é um parâmetro real.t
Passo 5
Substituindo os valores que temos na fórmula:
-
a = (0, 0, 1) -
d = (5, 5, -5)
Então:
Passo 6
Podemos escrever as componentes da equação vetorial separadamente para facilitar a visualização:
Ou simplesmente:
Resposta
A equação vetorial da reta que passa pelo ponto A e tem vetor diretor BC é: